Lien entre les différentes définitions, propriétés et la courbe d'équation 

Soit dans le plan muni du repère la courbe E d'équation  ( avec a > b )  

Posons , e = c/a et on désigne D et D' les droites d'équation respectives x = - a²/c et x = a²/c, les points F'(-c ; 0) , F(c ; 0), M(x ; y) , H projeté orthogonal de M sur D.

Montrons les équivalences suivantes : 

• M(x ; y ) E MF'+MF = 2a
• M(x ; y ) E MF = e MH

Montrons M(x ; y ) E MF'+MF = 2a

calculons  MF² et MF'² :

M(x ; y ) appartient à la courbe E donc :

par conséquent :

Montrons MF'+MF = 2a M(x ; y ) E

Montrons M(x ; y ) E MF = e MH

On a donc M(x ; y ) E MF'+MF = 2a

Pour que M (x ; y ) appartienne à E il faut et il suffit que