Equation réduite d'une ellipse

Soit dans le plan muni d'un repère la courbe E d'équation

Cette équation ne comporte que des termes en x² et en y² :
Conséquence : E admet les propriétés suivantes :
  • E admet l'origine comme centre de symétrie ( si M(x ; y ) appartient à cette courbe , le point M(-x ; -y ) appartient à E)
  • E admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie ( si M(x ; y ) appartient à cette courbe , le point M(-x ; y ) appartient à E)
  • E admet l'axe des abscisses comme axe de symétrie ( si M(x ; y ) appartient à cette courbe , le point M(x ;- y ) appartient à E)
Ils suffit dont d'étudier l'arc de courbe de E pour x et y positifs ce qui revient à étudier la fonction f définie sur [0 ; a] par :
f est dérivable sur [0; a [ et :

f n'est pas dérivable en a mais sa courbe représentative admet une tangente verticale au point d'abscisse a car :

Equation de la tangente en un point point M0(x0 ; y0)
Exemple : l'équation de la tangente au point B(0; b) de la courbe est y = b

Pour construire la courbe d'équation

il suffit de transformer la courbe représentative de la fonction f définie ci-dessus avec deux réflexion l'une d'axe l'axe des abscisses et l'autre l'axe des ordonnées (  les tangentes sont symétriques )
 
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