On peut partir de l'expression A et  utiliser des propriétés algébriques sur les réels ou sur les vecteurs pour obtenir finalement l'expression B.  ( ou l'inverse )

1- q⁵ = (1- q )( 1+q + q² + q³ + q⁴)

(1- q )( 1+q + q² + q³ + q⁴) =

1+ q + q² + q³ + q⁴ - q - q² - q³ - q⁴ - q⁵ =

1 - q⁵

Donc pour tout réel q on a : 

1- q⁵ = (1- q )( 1+q + q² + q³ + q⁴)

démonstration : 

commentaire : 

• Le passage de la 1^ère ligne à la 2^ème ligne utilise la relation de Chasles.
• le passage de la 2^ème ligne à la 3^ème utilise la commutativité de l'addition vectorielle.
• le passage de la 3^ème ligne à la 4^ème ligne utilise l'associativité de l'addition vectorielle et les propriétés de la multiplication d'un vecteur par un réel.
• le passage de la 4^ème ligne à la 5^ème ligne utilise une propriété vectorielle caractéristique du milieu d'un segment.
• le passage de la 5^ème ligne à la 6^ème et dernière ligne utilise la propriété de l'élément neutre de l'addition vectorielle ( le vecteur nul )

On démontrer que A = C et B = C et en déduire que A = B.

( deux nombres égaux à un même troisième sont égaux ou deux vecteurs égaux à un même vecteur sont égaux ) 

Cette méthode est très souvent utilisée pour les démonstrations d'égalités vectorielles.

 (a² - b²)² + (2ab)² =(a² + b²)²

pour tout réel a et b on a :  (a² - b²)² + (2ab)² =(a² + b²)²

on en déduit A = B

et on en déduit A = B

( cette méthode n'est pas valable pour les vecteurs )