Application

L'application pour a = i

correspond à la notation exponentielle d'un nombre complexe de module 1 et dont t est un argument, cette fonction est une application de dans .

De façon plus générale on peut définir des applications f de dans :

où les fonctions appelées applications composantes de f sont des fonctions numériques à valeurs dans .
Etudier ce type de fonction revient à étudier les fonctions .

• On admet que la fonction f est continue sur si et seulement si ces applications composantes sont continues sur .
• On admet que la fonction f est dérivable sur si et seulement si ces applications composantes sont dérivables sur et dans ce cas :
  

Application
la définition de cette fonction se fait naturellement :


Propriétés de cette fonction

• En reprenant les notations précédentes on peut déterminer la dérivée de cette fonction , puisque chacune de ces fonctions composantes est dérivables sur .
  
• Si Re(a) = 0 ( partie réelle de a nulle )
  la fonction est 2 -périodique.
• La fonction est continue sur .

Application dans la recherche de certaines primitives
On veut déterminer une primitive de la fonction g définie sur par
Définissons la fonction f de dans :

g(x) est la partie réelle de f(x) soit G une primitive de g sur alors G(x) = Re(F(x))