Partie I : Soit g la fonction définie sur ]0 ; + [ par g(x) = -x + xlnx
( où ln désigne le logarithme népérien).

1. Résoudre dans l'intervalle ]0 ; + [ l'équation g(x) = 0
2. Résoudre dans l'intervalle ]0 ; + [ l'équation g(x) > 0

Partie II :
Soit f  la fonction définie sur ]0 ; + [ par :

On appelle () la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (unités 2 cm) .
1. Déterminer :
.
2. Montrer que f '(x) = g(x). Utiliser les résultats de la partie I pour établir le tableau de variation de f .
3. Calculer f(e^3/2). On fera apparaître le détail des calculs.
4. Soit A le point d'abscisse 1 de (). Déterminer une équation de la tangente (T) en A à la courbe ().
5. Tracer dans le repère la tangente (T) ainsi que la partie de la courbe () relative
à l'intervalle ]0 ; 6].
6. Soit F la fonction définie sur ]0 ; + [ par :

6.a. Montrer que F est une primitive de f sur ]0 ; + [.
6.b. Calculer en cm² l'aire du domaine limité dans le repère par la courbe () , l'axe des abscisses et les droite d'équations x = 1 et x = e. On en donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10^-2 près.

Correction :
Partie I :
1.
g(x) = 0
-x + xlnx = 0
x(-1 + lnx) = 0
-1 + lnx = 0 ( puisque x 0 sur ]0 ; + [ , on peut diviser par x )
lnx = 1
lnx = lne
x = e
S = {e}
2.
g(x) > 0
-x + xlnx > 0
x(-1 + lnx) > 0
-1 + lnx > 0 ( puisque x > 0 )
lnx > 1
lnx > lne
x > e
S = ]e ; +[
Partie II :
1.

2.

or d'après la partie I, on sait que g(x) > 0 si et seulement si x > e et g(x) = 0 si et seulement si x = e, on en déduit donc les variations de f :


3.

4.

l'équation de la tangente (T) au point A d'abscisse 1 est : y = -x + 1/4
5.

6.a.

F'(x) = f(x)
donc F est bien une primitive de f sur ]0 ; + [
6.b.
Sur l'intervalle [1 ; e] la courbe () est en dessous de l'axe des abscisses donc l'aire du domaine limité est en unité d'aire :


l'unité d'aire graphique est 4 cm² donc la valeur exacte de l'aire est :

et une valeur approchée 10^-2 près de cette aire est : 9,94 cm²