2nde STI - 2T1 Mathématiques - 2eme trimestre Correction Devoir surveillé n°2

I – 1) Pour tout réel x on a

donc f est impaire, et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère .

2)

Tableau de variation de f

3)

donc la courbe représentative de f coupe l’axe des abscisses en un seul point d’abscisse 0.

4) voir figure 1) f(x) ³ -1, la courbe représentative de f est au dessus de la droite d’équation y = - 1 sur les intervalles ]- ¥  ; -1,9] È [ -0,9 ; + ¥ [ donc S = ]- ¥  ; -1,9]È [ -0,9 ; + ¥ [ ( autre formulation : les solutions de l’inéquation f(x) ³ -1 sont les abscisses des points de Cf situés au dessus de la droite d’équation y = -1 donc S = ]- ¥  ; -1,9] È [ -0,9 ; + ¥ [ )
f(x) = 3, la courbe représentative de f ne coupe pas la droite d’équation y = 3 , donc l’équation f(x) = 3 admet aucune solution.

II 1) g(-2) = -(-2)² + 4(-2) + 1 = - 4 - 8 + 1 = - 11, g(2) = -2² + 8 + 1 = 5
g(-2) ¹ g(2) et g(-2) ¹ - g(2) donc la fonction g est ni paire ni impaire.

2) g(x) £ 1 équivaut à –x² + 4x £ 0 équivaut à –x(x - 4) £ 0
tableau de signe de –x(x - 4)

S = ] -¥  ;  0 [ È ] 4 ; + ¥ [
Interprétation graphique : sur les intervalles ] -¥  ;  0 [ et ] 4 ; + ¥ [ la courbe représentative de g est en dessous de la droite d’équation y = 1.

3) 5 – (x – 2)² = 5 –(x² - 4x + 4 ) = 5 – x² + 4x – 4 = - x² + 4x + 1 = g(x)

4)
Sens de variation sur]-¥  ; 2]
a < b £ 2
a - 2 < b – 2 £ 0
( a – 2)² > ( b – 2)²
- (a – 2)² < - (b –2)²
5 – (a –2)² < 5 – ( b – 2)²
f(a) < f(b)
Pour tous réels a et b tel que a < b £ 2 on a f(a) < f(b)
donc f est strictement croissante sur ]-¥  ; 2]

Sens de variation sur[2 ; +¥ [
2 £ a < b
0 £ a – 2 < b – 2
( a – 2)² < ( b – 2)²
- (a – 2)² > - (b –2)²
5 – (a –2)² > 5 – ( b – 2)²
f(a) > f(b)
Pour tous réels a et b tel que 2 £ a < b on a f(a) > f(b)
donc f est strictement décroissante sur [2 ; +¥ [

f(2) = 5 – ( 2 – 2)² = 5

Tableau de variation de la fonction g

5) g(x) = 4 équivaut à 5 – (x – 2)² = 4 équivaut à 1 – (x- 2)² = 0 équivaut à (1 – x + 2)(1 + x – 2) = 0
équivaut à (3 – x)(-1 + x) = 0 équivaut à 3 – x = 0 ou –1 + x = 0 équivaut à x = 3 ou x = 1.
La courbe représentative de la fonction g coupe la droite d’équation y = 4 en deux points d’abscisses 1 et 3.
6)

donc le point de coordonnées (-1/2 ; -1) n’appartient pas à Cg .
  1. Sur l’intervalle [0 ; 4], la courbe représentative de h est confondue avec celle de f , le reste de la courbe est obtenue par translations successives de vecteurs ± 4 .
  2. Une solution particulière de l’équation h(x) = 1 équation est x = 0 ; toutes les autres solutions se déduisent en ajoutant ou en retranchant un multiple de 4. S = { 4k ; k}.
    Une solution particulière de l’équation h(x) = 4 équation est x = 1 ; toutes les autres solutions se déduisent en ajoutant ou en retranchant un multiple de 2. S = { 1 + 2k ; k}.
  3. h(20) = h(0 + 4´ 5) = h(0) = 1