I – On considère la fonction définie sur par
,
et C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormal .

1. Montrer que la fonction f est paire.
2. Montrer que f (x) peut se mettre sous la forme 
   
3. Utilisez l’expression de f(x) de la question 2) pour déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; + [.
4. Dresser le tableau de variation de f sur .
5. Résoudre l’inéquation f (x) > 2 et en donner l’interprétation graphique.
6. Calculer les images des nombres suivants par f : 2, 3, ½
7. Construire soigneusement la courbe représentative de f dans le plan muni du repère orthonormal
   
   en utilisant les résultats des questions précédentes.
8. La courbe représentative de f coupe t-elle la droite d’équation y = 4 ? Justifier par le calcul.

Correction :

1. pour tout réel x on a :
   
   donc la fonction f est paire et par conséquent sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
2. 
   

pour tous réels a et b tels que 0 £ a < b on a f(a) < f(b) donc la fonction f est strictement croissante sur
[0 ; + [.

4) Comme f est une fonction paire et qu’elle est strictement croissante sur [0 ; + [ on en déduit qu’elle est strictement décroissante sur ] -  ; 0]
Tableau de variation :


Tableau de signe :

S = ]- ;1[ ] 1 ; + [
Interprétation graphique :

7) Courbe représentative de la fonction f .

donc la courbe représentative de f ne coupe pas la droite d’équation y = 4.