Propriété : toute
partie non vide et majorée de 
possède un plus grand élément.
Division euclidienne dans
Soient a et b deux entiers naturels avec b 
0, considérons l'ensemble B des multiples de b inférieurs ou égaux à a
: B = {x
; x = kb avec k
et x  a }
L'ensemble B est non vide puisque 0
B,
B est donc un sous ensemble de
non vide et majoré par a .
Par suite B admet un plus grand élément et il existe donc un entier naturel
q unique tel que :
bq a <
b(q +1) en posant r = a - bq on peut dire qu'il existe un couple unique
(q, r) d'entiers naturels tel que :
On dit que q est le quotient entier et r le reste de la division euclidienne
de a par b.
Si r = 0 : a est par définition divisible par b, on dit dans ce
cas que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a.
exemple : pour a =
, b =
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