Exemple de calcul du déterminant d'une matrice 3 x 3
Note : toutes ses méthodes sont appliquables quelque soit la dimension de la matrice.
On veut calculer le déterminant de cette matrice :

première méthode :
on choisit une ligne ou une colonne de la matrice et on multiplie chaque coefficient de cette ligne ( ou colonne ) par le déterminant de la matrice obtenu en rayant la colonne et la ligne de ce coefficient ( la matrice obtenue est une matrice 2 x 2 ) chaque résultat obtenu doit être multiplié de plus par -1 dans le cas ou sa colonne L et sa ligne C sont telles que L + C est impaire. On ajoute ensuite les 3 résultats.
on peut procéder par exemple de cette façon

ou bien de cette façon :

Deuxième méthode :
On s'arrange que sur une même ligne ( ou une même colonne ) pour avoir un maximum de 0 puis on calcule le déterminant en utilisant la méthode précédente.
Pour faire apparaître des 0 , on peut retrancher ou ajouter à une même ligne ( respectivement une même colonne ) le produit d'une autre ligne par un nombre réel quelconque . ( respectivement d'une autre colonne ) on peut procéder de cette façon :

ou bien de cette façon :