Coordonnées polaires :
Le plan est orienté et muni d'un repère orthonormé
direct 
.
Les coordonnées polaires
d'un point M du plan sont le couple de nombres ( r ; 
) où
r = OM et est
une mesure de l'angle (
,
) .
Si ( x ; y ) sont les coordonnées cartésiennes
de M alors on a
Pour 
, on note :
Courbe polaire :
Soit f une application continue d'un ouvert D de
dans .
On dit que la courbe paramétrée plane D 
( f () cos
, f () sin
) = f( ) 
est la courbe d'équation polaire r = f(
).
Equations de droites et cercle en coordonnées polaires
Equation d'une droite
Equation d'un cercle
Notations et remarques :
Le point M correspondant à
est noté M (
) .
La tangente au point M (
) est notée : TM
Si f () 
0 , le point M ( )
a pour coordonnées polaires
( f () ;
)
Si f () <
0 , le point M ( )
a pour coordonnées polaires
(- f () ;
+ 
)
Ensemble de définition et d'étude
On réduit le domaine d'étude d'une courbe polaire par l'utilisation
de périodicité, parité ou autres symétries.
En supposant que f est définie sur
:
- Si f est T - périodique, il suffira d'étudier la fonction f sur un intervalle d'amplitude T exemple : [-T/2 ; T/2 [ , [0 ; T[ etc... le reste de la courbe sera obtenue par rotations successives d'angle T.
- Si f est T - antipériodique,
il suffira d'étudier la fonction f sur un intervalle d'amplitude
T exemple : [-T/2 ; T/2 [ , [0 ; T[ etc... le reste de la courbe sera
obtenue par rotations successives d'angle T +
.
- Si f est paire , il
suffira d'étudier la fonction f sur l'intervalle [0 ;
+
[ ou
] - ; 0] , le reste
de la courbe sera obtenue par symétrie axiale d'axe l'axe des
abscisses. - Si f est impaire ,
il suffira d'étudier la fonction f sur l'intervalle [0
; + [ ou
] - ; 0] , le reste
de la courbe sera obtenue par symétrie axiale d'axe l'axe des
ordonnées. - Si il existe un réel a tel que pour tout réel
de ,
f (a -
) = f ( )
, il suffira d'étudier la fonction f sur l'intervalle
[a/2 ; +
[ ou
] - ; a/2]
, le reste de la courbe sera obtenue par symétrie axiale d'axe
la droite d'équation polaire
= a/2. ( si a = 0, on retrouve le cas f paire
) - Si il existe un réel a tel que pour tout réel
de ,
f (a -
) = - f (
) , il suffira d'étudier la fonction f sur l'intervalle
[a/2 ; +
[ ou
] - ; a/2]
, le reste de la courbe sera obtenue par symétrie axiale d'axe
la droite d'équation polaire
= (a + )/2.
( si a = 0, on retrouve le cas f impaire
)
Points particuliers de la courbe polaire :
Point régulier :
Un point M ( ) est
régulier si et seulement si ( f ()
; f ' ( ) )
( 0 ; 0 )
La tangente en un point régulier a pour vecteur directeur le vecteur
:
f ' ( )
+ f () 
Point stationnaire :
Un point M ( ) est
stationnaire si et seulement si ( f ()
; f ' ( ) )
= ( 0 ; 0 )
Le seul point stationnaire possible d'une courbe polaire est le point
O (0 ; 0)
Point birégulier :
Un point M ( ) est
birégulier si et seulement si :
f ² ()
+ 2 f ' ² ()
- 2 f ()f
'' ()
0.
Un point est birégulier est régulier.
Point double :
Point qui est "atteint" au moins deux fois.
M ( ) est un point
double dans les cas suivant :
premier cas : f (
+ k 2 ) = f
() pour tout entier
relatif k
second cas : f (
+ (2k + 1) ) =
- f () pour
tout entier relatif k
Branches infinies
Etude et
construction de la courbe polaire :
( pour construire en ligne la
courbe )
Exemples d'étude de courbe polaire :
Exemple n° 1 :
r = tan 2
