Fonction cosinus

Soit x un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique associé à x. (voir arc orienté )
On appelle cosinus de x l'abscisse du point M dans le repère orthonormé et on note cos x

Exemple :( se note PI , 2/3 : 2*PI/3 )

= (syntaxe)


Pour certains réels x on connaît les valeurs du cosinus : appelées valeurs remarquables , certaines propriétés permettent de simplifier les expressions avec des cosinus et des sinus ce sont les formules des angles associés et les formules d'addition ,duplication etc...

Définition de cosinus x

Etude de la fonction cosinus à partir du cercle trigonométrique

La fonction cosinus est périodique de période 2 ,
c'est à dire que pour tout réel x on a cos (x + 2) = cos x

La fonction cosinus étant périodique , il est inutile de faire son étude sur l'ensemble des réels. La fonction cosinus est antipériodique d'antipériode

La fonction cosinus est une fonction paire : en effet, pour tout réel x on a : cos(-x) = cos(x)

Il suffit pour s'en convaincre deux prendre les deux points images de deux nombres x et -x ?

C'est aussi une fonction bornée , pour tout réel x on a : -1 cos(x) 1
Comme la fonction cosinus est périodique de période 2
et que c'est une fonction paire, il suffit de l'étudier sur l'intervalle [ 0 ; ] , elle est strictement décroissante sur l'intervalle [ 0 ; ] ce qui signifie que pour tout couple de réel a et b de l'intervalle [ 0 ; ] tel que a < b on a cos a < cos b.

Attention :
une erreur courante serait de croire par exemple que cos 2a = 2 cos a, ce n'est pas exact comme peut le faire comprendre la figure à droite. Si vous voulez réduire ou simplifier une expression avec des cosinus ou des sinus utilisez les formules citées plus haut.

Une remarque importante :

Ce qui permet de construire la courbe représentative de la fonction cosinus à partir de la courbe représentative de la fonction sinus en utilisant une translation.

Tableau de variation sur [ 0 ; ]


Courbe représentative de la fonction cosinus construite à partir du cercle trigonométrique :

Applet Geogebra
La courbe rouge ( courbe représentative de la fonction cosinus ) peut aussi être considérée comme l'image de la courbe noire ( courbe représentative de la fonction sinus ) par la translation de vecteur :
Courbe représentative de la fonction cosinus
Applet Geogebra

Dérivée de la fonction cosinus :
la fonction cosinus est dérivable sur et sa dérivée est la fonction x - sin x.
Démonstration

Résolution d'équations avec cosinus :