| Convergence
d'une suite numérique |
Définition : on dit que la suite 
converge vers 0 , ou que la suite a pour limite quand n tend vers +  si
et seulement si :
En clair , on peut rendre un aussi
proche de 0 que l'on veut, il suffit pour cela de
choisir n suffisamment grand
on note :
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Exemple : comprendre pourquoi la suite  (
pour tout entier naturel n non nul ) définie par :
converge vers 0
Peut-on rendre |un|<
?
D'une manière générale
pour avoir l'inégalité |un| <
 , il suffit de
choisir N = partie entière de (1/
). |
Théorème : soient
et  deux suites
telles que converge
vers 0, et qu'à partir d'un certain rang : |un|
 vn.
Alors la suite
converge vers 0
Quand une suite
vérifie les conditions de ce théorème, on dit qu'elle
converge plus rapidement que
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Propriétés :
- Toute suite convergeant vers 0 est bornée.
Preuve : soit
une suite convergeant vers 0
pour = 1 il existe
N  
tel que n > N 
-1<|un|<
1
Soient m et M respectivement le plus petit et le plus grand des réels
1,  on
a alors m<|un|<
M .
- Si deux suites convergent vers 0, leur somme et leur produit converge
également vers 0 .
- Le produit d'une suite convergeant vers 0 par une suite bornée
est une suite convergente.
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Définition : on dit que la suite
converge vers b
où b est un réel fixé ou que la suite
a pour limite b quand n tend vers +
si et seulement si la suite ( un - b ) converge vers
0.
On note :
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Propriétés :
- Toute suite convergente positive admet une limite
positive :
-Toute suite convergente est bornée
- soient et
deux suites convergentes de limites respectives a et b et 
un réel fixé alors :
les suites  convergent
respectivement vers a + b, ab, a
, si de plus tous les termes de
sont non nuls alors les suites
convergent respectivement vers a/b et 1/b
Quand une suite ne converge pas, on dit qu'elle est divergente.
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| Remarque : une suite est une fonction particulière
donc les énoncés sur les limites
de suites sont analogues aux énoncés sur les limites de
fonction. |
