Réduction de l'équation d'une conique par rotation du repère
Le plan est muni d'un repère orthonormal .
L'ensemble des points M de coordonnées (x ; y ) tels que :
a x² + b y² + c xy + d x + e y + f = 0  est une conique, mais sous cette forme il est difficile de connaître la nature de cette conique, sauf si c = 0.
On écrit l'équation de cette conique dans un nouveau repère image du repère par une rotation de centre O et d'angle de mesure .
Les coordonnées (X ; Y) du point M dans ce nouveau repère sont alors telles que :

L'équation de la conique dans ce nouveau repère est de la forme :
AX² + BY² + CXY + DX + EY + F = 0
où les nombres réels A, B, C, D, E et F sont des réels qui dépendent des réels
a, b, c, d, e et f et du réel :
Pour un certain choix de , le réel C est nul :

on obtient donc une équation de la forme : AX² + BY² + DX + EY + F = 0
Exemple : de l'équation
x² + y² + xy + x + y + = 0
en prenant = on trouve l'équation
( résultats arrondis à )
Nature de la conique
Quelle est la nature de la conique d'équation :
a x² + b y² + d x + e y + f= 0

• si a = 0 et b = 0, l' équation est du premier degré au plus, et peut correspondre avec l'équation d'une droite dans le plan.
• si a 0 et b = 0 et e 0 ou si b 0 et a = 0 et d 0,
  l'équation obtenue est celle d'un parabole .
• si a 0 et b 0 et a = b , on peut écrire l'équation sous la forme :
  (x - x_I)² + (y - y_I)² = p
  * si p > 0, l'ensemble des points de coordonnées (x ; y)
     tel que (x - x_I)² + (y - y_I)² = 0 est réduit au point I de coordonnées ( x_I; y_I)
  * si p = 0, l'ensemble des points de coordonnées (x ; y)
     tel que (x - x_I)² + (y - y_I)² = p est un cercle.
  * si p < 0, l'ensemble des points de coordonnées (x ; y)
     tel que (x - x_I)² + (y - y_I)² = p est l'ensemble vide.
  
• si a 0 et b 0 et a b , on peut écrire l'équation sous la forme :
  a(x - x_I)² + b(y - y_I)² + k = 0
  * si k = 0 et a et b de même signe, l'ensemble des points de coordonnées (x ; y)
    tel que a(x - x_I)² + b(y - y_I)² = 0 est réduit au point I de coordonnées ( x_I; y_I)
  * si k = 0 et a et b de signe contraire, l'ensemble des points de coordonnées (x ; y)
    tel que a(x - x_I)² + b(y - y_I)² = 0 est la réunion de deux droites.
  * si a, b et k sont de même signe, l'ensemble des points de coordonnées (x ; y)
     tel que a(x - x_I)² + b(y - y_I)² + k = 0 est l'ensemble vide sinon
     l'équation peut se mettre sous la forme : (x - x_I)²/a² +/-(y - y_I)²/b² - 1 = 0 et dans ce cas    correspond à l'équation du hyperbole ou d'une ellipse.
  

Exemple :
Quelle est la de la conique d'équation : ( coefficient rationnels ou réels )
x² + y² + x + y + = 0