Cas particulier :
Z = 0 admet une racine n-ème unique z = 0
Racines n-ième d'un nombre complexe non nul
Supposons si Z 
0 , soit z une racine n-ème de Z
alors Z et toute racine n-ième z de Z peuvent s'écrire sous
forme exponentielle.
Soient 
et 
des arguments respectifs de Z et z,
R et r les modules respectifs de Z et z on a :
or R > 0 et r > 0 donc l'équation 
admet une solution unique : 
et l'équation 
on en déduis que les racines de Z sont les nombres :
où k 
{0
; 1;.....;n-1}
si il n'y a en fait que n racines n-ième distinctes de Z, car à
partir de k = n on "retombe" sur les mêmes racines par
périodicité ...
Images des n racines n-ième d'un nombre complexe non nul
Dans le plan complexe muni d'un repère
orthonormal direct 
,considérons
les images on
a :
donc les n points
appartiennent au cercle de centre O et de rayon 
donc sont les
sommets d'un polynôme régulier à n côtés.
Remarque : les racines n-ièmes d'un nombre complexe Z peuvent
aussi être obtenues en multipliant l'une des racines n-ième
de Z par les racines n-ièmes
de l'unité
Exemple : on veut déterminer les racines 4-ième
du nombre complexe Z = 
+ i
- On met le nombre Z sous la forme exponentielle (plusieurs
méthodes )
on trouve
d'où les solutions sont les nombres zk :
