Dérivée d'une fonction composée, et d'une fonction réciproque
Dérivée d'une fonction composée :
la composée f = g o u de deux fonctions u et g dérivables, la première en x, la seconde en u(x) est dérivable .
La fonction dérivée, f ', est définie par f ' = (g ' o u ). u'
c'est à dire : f ' (x) = g ' (u(x)). u '(x)
en notation simplifiée : f' = u' . g' o u

Démonstration :

Soit a un réel fixé , soient u une fonction définie et dérivable en a et g une fonction définie et dérivable en u(a) :

la fonction f = g o u est donc dérivable en a et on a
f ' (a) = g ' (u(a)). u '(a)

Exemples :

Dérivée de la fonction réciproque :
Si une fonction f est continue, strictement monotone et dérivable sur un intervalle I de , et si sa dérivée f ' ne s'annule pas sur I, alors sa fonction réciproque f -1est dérivable sur f(I).
et on a :
Comment procéder pour déterminer la dérivée d'une fonction réciproque il suffit de de calculer f'(y) puis exprimer (f -1(x))' = 1/f'(y) en fonction de y sachant
x = f(y), puis en fonction de x
Exemple de calcul de dérivée de fonction réciproque