Equation d'un cercle de centre O et de rayon R.
r = R ( avec appartenant à un intervalle au moins d'amplitude 2 )

Equation d'un cercle de centre I( r₀ ; ₀ ) et de rayon R.
On part de l'équation cartésienne d'un cercle de centre I( a; b) et de rayon R donnée par : (x - a)² + (y - b)² = R²
On a : x = r cos , y = r sin , a = r₀ cos ₀ , b = r₀ sin ₀ :
x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = R ²
x² + y² + a² + b² - 2(ax + by) + a² + b² = R ²
r² + r₀² - 2r r₀ ( cos ₀cos + sin ₀ sin ) = R ²
r² - 2r r₀ cos ( -₀) + r₀² = R ²

Equation d'un cercle passant par l'origine.
On a dans ce cas : R = r_{0 ,} R² = r₀ ²
r² - 2r r₀ cos ( -₀) + r₀ ² = r₀ ²
r² - 2r r₀ cos ( -₀) = 0
r = 2 r₀ cos ( -₀)