H
istorique sur les nombres
complexes
( Formule de Cardan )
C'est par l'étude des équations du troisième degré que les algébristes italiens du 16 ème siècle introduisent les nombres complexes qu'ils vont appeler au début nombres "impossibles". Ils vont écrire des symboles tels que
ou a est un réels strictement positif.
Soit l'équation du troisième degré :
x
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
(
Voir méthode générale de résolution
)
Cette équation se transforme en
X
3
+ pX + q = 0
( voir méthode générale de résolution)
En faisant le changement de variable :
X = x + b/3
Ensuite, on fait un nouveau changement de variable
en posant
X = u + v
, on obtient
u
3
+ v
3
+ (3uv + p)(u + v) + q = 0
Le changement de variable
X = u + v
laisse une liberté pour le choix
d'une des variables u ou v, on peut donc imposer que 3uv + p = 0 . On obtient deux conditions :
Les nombres
u
3
et
v
3
sont les solutions de l'équation du second degré :
(
voir propriétés des racines d'un polynôme du second degré
)
Cette équation admet des solutions dans le cas ou sont discriminant :
ce qui se produit si
27q² + 4 p
3
est positif.
ce dernier nombre est en quelque sorte un discriminant .
ce qui conduit à dans ce cas :
il en résulte donc la très esthétique formule de Cardan :
Exemple avec l'équation
x
3
+
x
2
+
x +
= 0
Vous pouvez essayer avec d'autres équations, c'est ce qu'on fait les algébriste Italiens du 16 ème siècle ils ont vu que certaines équations admettaient pourtant des solutions comme par exemple l'équation
x
3
+ 6x
2
- 3x - 26 = 0
qui admet 2, comme solution mais
le discriminant est négatif.
La notation
sera finalement remplacée par le nombre i
et j en sciences physiques ( le problème est que le nombre j en maths est le nombre complexe :
j est en maths une des racines cubiques de l'unité c'est à dire
j
3
=1, les autres racines de l'unité sont 1 et j² )
En appliquant les
règles algébriques
habituelles avec
Bombelli, l'un des algébristes remarque que :
Il peut alors résoudre l'équation X
3
- 15X - 4 = 0 en appliquant la
formule de Cardan et les résultats précédents.
En utilisant la formule de Cardan :
C'est à dire 4 est une solution de l'équation X
3
- 15X - 4 = 0
( 4 est une
racine du polynôme
X
3
- 15X - 4 )
