Correction exercice 1 :
1.
L suit une loi normale N(300,3) donc la variable aléatoire T définie par :

suit une loi normale centrée réduite N(0,1) il vient :

( par symétrie de la loi N(0 ; 1 ) )
su la table on lit :

d'ou :

La probabilité qu'une pièce P₁ soit bonne est de 0,97.

2.
On remarque que E₁ = A B ,
p(E₁ ) = p( A B ) = p (A) p(B) car A et B sont deux évenements indépendants
p(E₁ ) = 0,03 0,07 = 0,0021
On remarque que E₂ = A B ,
p(E₂ ) = p( A B) = p(A) + p(B) - p(A B ) = 0,03 + 0,07 - 0,0021 = 0,0979
E₃ est l'évenement contraire de E₂ donc :
p( E₃) = 1 - p(E₂) = 1 - 0,0979 = 0,9021

3.
a. Les épreuves sont indépendantes, l'issue de chaque épreuve est un succés ( module non défectueux : aucune pièce défectueuse ) ou un échec ( module défectueux : au moins une pièce défectueuse ).
Il y a n = 10 épreuves donc la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 10 modules associe le nombre de modules réalisant l’événement E₃ suit une loi binomiale B( 10 , 0,902 ) .

b. On cherche à calculer p(X 9)
p(X 9) = p(X = 9) + p(X = 10)

La probabilité que, dans un tel prélèvement, 9 modules au moins réalisent l’événement E₃ est de 0,744.
4.
a. Une estimation ponctuelle de la moyenne µ des diamètres des pièces P₂ produites pendant cette journée est donc 4,012 .
b. On cherche le nombre réel positif a tel que p( + a µ + a ) = 0,95.
suit une loi normale N( µ ; / ) donc la variable aléatoire définie par :

suit la loi normale centrée réduite on a donc :

soit :

on cherche t tel que 2 ( t) - 1 = 0,95 soit ( t) = 0,975 soit t = 1,96
( lecture sur la table de la loi normale )
en prenant = 4,012 , = 0,084, et t = 1,96 on en déduit que :
[3,991 ; 4,033] est un intervalle de confiance centré en de la moyenne µ des diamètres des pièces P₂ produites pendant la journée considérée, avec le coefficient de confiance de 95%.

c. On considère l’affirmation suivante :
" la moyenne µ est obligatoirement entre 3,991 et 4,033 ".
On ne peut pas en déduire que ce qui précède est vraie , il n'y a pas de certitude .