Exercice 2 : ( 11 points ) Equation différentielle
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante
Partie A : Résolution d’une équation différentielle
On considère l’équation différentielle

où y désigne une fonction de la variable x définie et deux fois dérivable sur , y ' la fonction dérivée de y, et y'' sa fonction dérivée seconde.
1. Résoudre dans R l’équation différentielle
(E₀)  y'' - 2y + y = 0
2. Déterminer les constantes réelles a, b, c pour que la fonction g définie sur par
g(x) = ax² + bx + c soit une solution particulière de l’équation (E)
3. Déduire du 1. et du 2. l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de l’équation (E) qui vérifie les conditions initiales :

Partie B : étude d’une fonction
Soient f et g les deux fonctions de la variable x définies sur par

On note C la courbe représentative de f et P la courbe représentative de g dans le repère orthonormal (unité graphique 2 cm).
1. Déterminer :

Interpréter graphiquement le dernier résultat.
2. Etudier sur la position relative des deux courbes C et P.
3. a. Démontrer que pour tout x de : f '(x) = (x + 1)(e^x + 1).
b. Etudier les variations de f sur .
4. a. Compléter le tableau de valeurs figurant sur la feuille annexe (à rendre avec la copie) , les valeurs approchées seront arrondies à 10^-2 près.
b. Construire la courbe C dans le repère sur la feuille annexe (à rendre avec la copie) où figure la courbe P.
5. a. Démontrer, à l’aide d’une intégration par parties, que la valeur exacte en cm² de l’aire de la partie du plan limitée par la courbe C, la parabole P et les droites d’équations x = -3 et x = -2 est A = 4( -4 e^-3 + 3e^-2 )
b. Donner une valeur approchée à 10^-2 près de A.

Annexe :
4. a.

4.b.

correction