Exercice 1 : ( 11 points
) Une usine de plaquettes
Dans tout l’exercice, on arrondira les résultats à
10-2 près.
Une entreprise fabrique des plaquettes dont la longueur et la largeur
sont mesurées en mm.
Partie A
Sur un échantillon de 100 plaquettes, on a mesuré la longueur
de chaque plaquette et obtenu le
tableau suivant :
1. On veut calculer une valeur approchée de la moyenne m
et de l’écart type s de l’échantillon. Pour cela,
on fait comme si toutes les observations d’une classe étaient
situées au centre de la classe. Calculer m et s. Compte tenu de
l’erreur de méthode induite par l’approximation précédente,
les résultats seront donnés à 10-1 près.
2. On suppose que la variable aléatoire L qui à chaque
plaquette associe sa longueur suit une loi
normale de moyenne µ et d’écart type 1, 6.
a. Donner une estimation ponctuelle de µ.
b. Déterminer un intervalle de confiance à 95% de
µ centré sur la valeur obtenue précédemment.
Partie B
On suppose dans cette partie que L suit une loi normale de moyenne 40
et d’écart type 1,6 et que la largeur l suit une loi normale
de moyenne 25 et d’écart type 1, 2.
1. On tire une plaquette au hasard dans la production.
a. Quelle est la probabilité d’obtenir une longueur
comprise entre 37 et 43 mm ?
b. Quelle est la probabilité d’obtenir une largeur
comprise entre 22 et 28 mm ?
2. Une plaquette est acceptée si sa longueur est comprise
entre 37 et 43 mm et sa largeur est
comprise entre 22 et 28 mm.
En admettant que L et l sont des variables aléatoires indépendantes,
quelle est la probabilité
d’obtenir une plaquette qui soit acceptée ?
Partie C
La probabilité d’obtenir une plaquette qui soit rejetée
est égale à 0,07.
On appelle X la variable aléatoire qui à un lot de 100 plaquettes
extraites de la fabrication associe le nombre de plaquettes rejetées
contenues dans ce lot.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Préciser
ses paramètres et son espérance
mathématique.
2. En admettant que la loi de X peut être approchée
par une loi de Poisson, préciser son paramètre.
Quelle est alors la probabilité d’obtenir strictement moins
de 10 plaquettes rejetées dans un lot
de 100 plaquettes ?
Correction
