Une entreprise fabrique en série des pièces dont le diamètre, mesuré en millimètres, définit une variable aléatoire D et dont la longueur définit une variable aléatoire L.
On admet que la variable aléatoire D suit la loi normale de moyenne m et d'écart type s .

1. Estimation de m et s :
a Un échantillon de 100 pièces est prélevé au hasard dans la production. Les mesures des diamètres des pièces de cet échantillon son regroupées dans le tableau suivant :

En faisant l'hypothèse que, pour chaque classe, les valeurs mesurées sont égales à celle du centre de la classe, calculer, à 10^-2 près, la moyenne d et l'écart type s de cet échantillon. En déduire l'estimation ponctuelle de s fournie par cet échantillon.
b On appelle la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 pièces, associe la moyenne des diamètres des pièces de l'échantillon. On rappelle que suit la loi normale de moyenne m et d'écart type /10. Déterminer un intervalle de confiance de la moyenne m de au seuil de confiance de 95%.
2. Dans cette question, on admet que la production comporte 5 % de pièces inutilisables.
a. L'entreprise conditionne ses pièces par boîtes de 25. On tire une boîte au hasard (on assimilera cette épreuve à un tirage successif avec remise de 25 pièces dans la production). On désigne par K le nombre de pièces inutilisables dans cette boîte. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire K ? Calculer, à 10^-3 près, la probabilité que cette boîte contienne au plus une pièce inutilisable.
b. Un client qui a besoin de 185 pièces commande 8 boîtes de pièces (on assimile cette épreuve à un tirage successif et avec remise de 200 pièces dans la production). On désigne par L le nombre de pièces inutilisables dans cette commande. On admet que L suit la loi de Poisson de paramètre 10. Quelle est la probabilité que le client dispose d'un échantillon suffisant de pièces utilisables dans sa commande ?
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