Exercice 1 : (12 points ) équation différentielle d'ordre 2

Partie A : résolution d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle : (E) y'' - 3y' + 2y = -4e^2x.
1. Donnez la forme générale des solutions de l'équation (E ' ) y'' - 3y' + 2y = 0
2. Déterminer le réel a pour que la fonction g définie sur par : g(x) = axe^2x soit solution de l'équation (E)
3. a. Déduire des questions précédentes la solution générale de l'équation (E)
b. Déterminer la solution f de l'équation (E) dont la courbe représentative passe par le point S(0 ; 2) et admet en ce point une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

Partie B : étude d'une solution particulière de l'équation (E)

Soit la fonction f définie sur par : f(x) = 2e^2x(1 - 2x)
On appelle C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.
1. a. Etudiez la limite de f en -
1. b. Etudiez la limite de f en +
En déduire que C admet une asymptote dont on précisera l'équation. Préciser la position de C par rapport à cette asymptote.
2. Etudiez les variations de la fonction f sur
3. Tracer la courbe C.
4. A l'aide d'une intégration par parties, déterminer l'aire exprimée en cm² , du domaine délimité par C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = - 2 et x = 0 . Donner la valeur de cette aire arrondie au mm².
Correction