Exercice 1 :
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
– Partie A – Résolution d’une équation différentielle –
On considère l’équation différentielle (E) :

où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur ] -1; +[ et y ' sa fonction dérivée.
1. Démontrer que les solutions sur ]- 1; +[ de l’équation différentielle (E₀) :
(1 + x)y' + y = 0 sont les fonctions définie par

où k est une constante réelle quelconque .
2. Soit g la fonction définie sur ] -1; +[ par

Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l’équation différentielle (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale
f (0) = 2.
– Partie B – Etude d’une fonction –
Soit f la fonction définie sur ] -1; +[ par

Sa courbe représentative C, dans un repère orthonormal où l’unité graphique est 1 cm, est donnée ci dessous :

1. On admet que :

Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
2. a) Démontrer que, pour tout x de ] 1; +[,

2. b) Résoudre dans ] -1; +[, l’inéquation 1 + ln(1 + x) 0 En déduire le signe de
f (x) lorsque x varie dans ] -1; +[.
2. c) Etablir le tableau de variation de f .
3. Un logiciel de calcul formel donne le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction f :

Ce résultat, admis, n’a pas à être démontré.
3. a) En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0.
3. b) Etudier la position relative de C et T au voisinage de leur point d’abscisse 0.

– Partie C Calcul intégral –
1. Déterminer la dérivée de la fonction G définie sur ] -1; +[ par

2. En déduire qu’une primitive de la fonction f sur ] -1; +[ est définie par

3. a) On note

Démontrer que :

3. b) Donner la valeur approchée arrondie à 10^-2 de I.
3. c) Donner une interprétation graphique du résultat obtenu au b).
Correction