Exercice 2 : ( 9 points )
Les quatres parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Une usine fabrique, en grande quantité, des rondelles d'acier pour la construction, leur diamètre est exprimé en millimètre.
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats approchés sont à arrondi à 10^-2 .
A. Loi normale :
Une rondelle de ce modèle est conforme pour le diamètre lorsque celui ci appartient à l'intervalle [89,6 ; 90,4].
1. On note X₁ , la variable aléatoire qui à chaque rondelle prélevée au hasard dans la production associe son diamètre. On suppose que la variable aléatoire X₁ suit la loi normale de moyenne 90 et d'écart type = 0,17
Calculer la probabilité qu'une rondelle prélevée au hasard dans la production soit conforme.
2. L'entreprise désire améliorer la qualité de la production des rondelles : il est envisagé de modifier le réglage des machines produisant les rondelles. On note D la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée dans la production future associera son diamètre. On suppose que la variable aléatoire D suit une loi normale de moyenne 90 et d'écart type ₁ . Déterminer ₁ pour que la probabilité qu'une rondelle prélevée au hasard dans la production future soit conforme pour le diamètre soit égale à 0,99.
B. Loi binomiale :
On note E l'évenement : " une rondelle prélevée dans un stock important a un diamètre défectueux ", on suppose que P(E) = 0,02.
On prélève au hasard quatre rondelles dans le stock pour la vérification de leur diamètre. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de quatre rondelles.On considère la variable aléatoire Y₁, qui à tout prélèvement de quatres rondelles associe le nombre de rondelles de ce prélèvement ayant un diamètre défectueux.
1. Justifier que la variable aléatoire Y₁ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement aucune rondelle n'ait un diamètre déféctueux. Arrondir à 10^-3.
3. Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement au plus une rondelle ait un diamètre déféctueux. Arrondir à 10^-3.
C. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale
Les rondelles sont commercialisées par lots de 1000.
On prélève au hasard un lot de 1000 dans un dépot de l'usine. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 1000 rondelles.
On considère la variable aléatoire Y₂ qui à tout prélèvement de 1000 rondelles associe le nombre de rondelles non conformes parmi ces 1000 rondelles.
On admet que la variable aléatoire Y₂ suit la loi binomiale de paramètres
n = 1000 et p = 0,02. On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire Y₂ par la loi normale de moyenne 20 et d'écart type 4,43.
On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 20 et d'écart type 4,43.
1. Justifier les paramètres de cette loi normale.
2. Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 15 rondelles non conformes dans le lot de 1000 rondelles, c'est à dire calculer P(Z 15,5 ) .
D . Test d'Hypothèse :
On se propose de construire un test d'hypothèse pour contrôler la moyenne µ de l'ensemble des diamètres, en millimètres, de rondelles constituant une grosse livraison à effectuer.
On note X₂, la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée au hasard dans la livraison associe son diamètre.
La variable aléatoire X₂ suit une loi normale de moyenne inconnue µ et d'écart type = 0,17.
On désigne par la variable aléatoire, qui à chaque échantillon aléatoire prélevé dans la livraison de 100 rondelles associe la moyenne des diamètres de ces rondelles ( la livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise )
L'hypothèse nulle est H₀ : µ = 90. Dans ce cas la livraison est dite conforme pour le diamètre.
L'hypothèse alternative est H₁ : µ 90.
Le seuil de signification du test est fixé à 0,05.
1. Enoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test en admettant, sous l'hypothèse nulle H₀ , le résultat suivant qui n'a pas à être démontré :
P( 89,967 90,033 ) = 0,95.
2. On prélève un échantillon de 100 rondelles dans la livraison et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres est de = 90,02.
Peut-on, au seuil de 5 %, conclure que la livraison est conforme pour le diamètre ?

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