Dans cet exercice, on étudie une fonction qui intervient dans des calculs de probabilité à propos de la crue d’un fleuve. (Source : un bureau d’étude du domaine de l’équipement.)
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
A - Résolution d’une équation différentielle.
On considère l’équation différentielle (E) : y ' + (0,4x) y = 0,4 x où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur [0; +
[,
et y ' sa fonction dérivée.1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E0) : y ' + (0,4 x) y = 0
2. Montrer que la fonction constante h, définie sur [0; +
[
par h(x) = 1, est une solution particulière de l’équation
(E).3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).
4. Vérifier que la fonction F définie sur [0; +
[
par F(x) = 1 - e-0,2 x² est
la solution particulière de l’équation différentielle (E) qui vérifie la
condition initiale F(0) = 0. B - Etude d’une fonction.
Soit f la fonction définie sur [0; +
[
par f (x) = 0,4 x e-0,2 x²
. On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O ;
; 
),
les unités graphiques étant de 2 cm sur l’axe des abscisses et de 10 cm
sur l’axe des ordonnées. 1. On admet que
Que peut - on en déduire pour la courbe C ?
2. a) Démontrer que, pour tout x de [0; +
[,
2. b) En déduire le signe de f ' (x) sur [0; +
[.
2. c) Donner le tableau de variation de f sur [0; +
[.
On y fera figurer la valeur approchée à 10-2 près du maximum de la fonction f .
3. Un logiciel de calcul formel fournit pour f le développement limité suivant, à l’ordre 3, au voisinage de 0 :
Ce résultat est admis et n’est donc pas à démontrer.
En déduire une équaion de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0, et la position relative de T et C au voisinage de ce point.
4. Tracer sur la copie la tangente T et la courbe C dans le repère (O ;
; )
défini au début de la partie B.C - Application à un problème de probabilité.
Une étude statistique, fondée sur un historique des crues d’un fleuve, permet de faire des prévisions dur sa hauteur maximale annuelle, en mètres.
On note X la variable aléatoire qui, à une année prise au hasard dans une longue période, associe la hauteur maximale du fleuve en mètres. Soit x un réel positif.
La probabilité qu’à une année donnée la hauteur maximale du fleuve soit inférieure à x mètres est
où f est la fonction définie dans la partie B.
On admet que :
1. Les digues actuelles ne protègent l’agglomération que lorsque la hauteur du fleuve est inférieure à 4 mètres.
Calculer la probabilité p(X
4) qu’une année donnée, l’agglomération soit protégée de la crue; arrondir
le résultat à 10-2. 2. Afin de réaliser des travaux pour améliorer la protection de l’agglomération, on cherche la hauteur x0, en mètres, telle que P(X
x0)
= 0,992. a) Montrer que x0 est solution de l’équation :
2. b) Déterminer la valeur approchée arrondie à 10-2 près de x0.
2. c) On considère l’affirmation suivante :
En surélevant les digues d’un mètre, la probabilité qu’une année prise au hasard, l’agglomération soit protégée est supérieure à 0,99 .
Cette affirmation est-elle vraie ? (Donner la réponse sans explication.)
Correction
