Exercice 2 : ( 12 points )
Equation différentielle, développement limité, relations fonctionnelles
Les 3 parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

– Partie A – Résolution d’une équation différentielle
On considère l’équation différentielle (E) y'' - y' - 2y = (- 6x - 4)e^-x.
où y est une fonction de la variable x, définie et deux fois dérivable sur , y' sa fonction dérivée première et y'' sa fonction dérivée seconde.
1. Résoudre sur l’équation différentielle (E₀) : y'' - y' - 2y = 0
2. Soit h la fonction définie sur par : h(x) = (x² + 2x)e^-x.
Démontrer que h est une solution particulière de l’équation différentielle (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation diférentielle (E)
4. Déterminer la solution f de l’équation différentielle E qui vérifie les conditions initiales :
f (0) = 1 et f '(0) = 1.

– Partie B – Etude d’une fonction
Soit f la fonction définie sur par f (x) = (x + 1)² e^-x.
Sa courbe représentative C dans un repère orthonormal est donnée sur la figure ci après.

1. a) Calculer

b) Déterminer

en déduire

c) Interpréter graphiquement le résultat obtenu au b).
2. a) Démontrer que, pour tout x de ,

b) Résoudre dans , f ' (x) 0.
c) En déduire le sens de variation de f sur . .
3. a) à l’aide du développement limité au voisinage de 0 de la fonction exponentielle t e^t
, donner le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0 de la fonction x e^-x
b) Démontrer que le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0 de la fonction f est :

c) En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 et la position relative de C et T au voisinage de ce point.

– Partie C – Calcul intégral
1. a) La fonction f définie dans la partie B étant une solution de l’équation différentielle (E) :
y'' - y' - 2y = (- 6x - 4)e^-x.
montrer que f vérifie, pour tout x de ,

b) Soit F la fonction définie sur par :

Montrer que F est une primitive de f .
c) Vérifier que, pour tout x de ,

2. Utiliser ce qui précède pour démontrer que l’aire A de la partie du plan hachurée sur la figure est, en unité d’aire, A = 2e - 5.

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