Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A : Résolution d’une équation différentielle
On considère l’équation différentielle : (E) y' - 2y = e2x
où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur
et y' sa fonction dérivée. 1. Résoudre sur
l’équation différentielle : (E0) y' - 2y = e2x
2. Soit h la fonction définie sur
par h(x) = xe2x. Démontrer que h est une solution particulière de l’équation différentielle (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation diférentielle (E)
4. Déterminer la solution particulière f de l’équation (E) qui vérifie la confition f (0) = - 1.
Partie B : étude d’une fonction
Soit f la fonction définie sur
par f (x) = (x - 1)e2x. Sa courbe représentative C est donnée dans le repère de l’annexe (à rendre avec la copie).
1. a Calculer
b. On admet que :
En déduire :
c. Interpréter géométriquement le résultat obtenu au b.
2. a. Démontrer que, pour tout x de
,
f '(x) = (2x - 1)e2x. b. Résoudre dans R l’inéquation f ' (x)
0. c. En déduire le sens de variation de f sur
.
3. a. à l’aide du développement limité au voisinage de 0 de la fonction exponentielle t
et , donner le développement limité, à
l’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction x
e2xb. En déduire que le développement limité, à l’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction f est :
c. En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 et la position relative de C et T au voisinage de ce point.
d. Tracer T dans le repère de l’annexe.
Partie C Calcul intégral
1. Soit
un réel
strictement négatif, on pose 
Démontrer que
On pourra effectuer une intégration par parties.
2. a. Calculer la limite de I(
)
quand tend vers - 
b. à l’aide d’une phrase, donner une interprétation graphique de ce résultat.
correction
