Exercice 2 : ( 12 points ) Une équation différentielle d’ordre 2
L’objectif de cet exercice est de résoudre une équation différentielle dont une solution particulière est susceptible de définir une fonction de densité en probabilités.
Les parties A. et B. peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A : Résolution d’une équation différentielle
On considère l’équation différentielle

où y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur , y'  la fonction dérivée de y, et y'' sa fonction dérivée seconde.
1. Résoudre sur l’équation différentielle
(E₀)  y'' - 4y = 0
2. Vérifier que la fonction g définie sur par

est une solution particulière de l’équation différentielle (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution particulière h de l’équation différentielle (E) vérifiant les conditions

Partie B : étude d’une fonction
Soit  f  la fonction définie sur [0; +  [ par


Une représentation graphique C de f , dans un repère orthogonal, est donnée cidessus.
1. Le graphique suggère un sens de variation pour la fonction f .
L’objet de cette question est de justifier ce résultat.
a. Démontrer que, pour tout x de [0;+  [,

b. En déduire le sens de variation de f sur [0;+  [.
2. Le graphique permet d’envisager une asymptote en + pour la courbe C.
à partir de l’expression de f (x), déterminer une limite de f justifiant cette propriété graphique.
3. a. à l’aide du développement limité au voisinage de 0 de la fonction exponentielle t e^t , donner le développement limité, à l’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction x e^-2x.
b. En déduire que le développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction f est :

c. En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 et la position relative de C et T, pour x positif au voisinage de 0.
4. a. à l’aide d’une intégration par parties, calculer la valeur exacte de l’intégrale

Donner une valeur approchée, arrondie au centième, de l’intégrale I.
Donner une interprétation graphique de l’intégrale I.
b. Sur l’écran d’une calculatrice, équipée d’un logiciel particulier (calcul formel), on lit le résultat suivant, où t est un nombre réel positif quelconque :

Ce résultat est admis ici et n’a donc pas à être démontré.
Déterminer

c. Soit A(t) l’aire, en unités d’aire, de la partie du plan limitée par les axes de coordonnées, la courbe C, et la droite d’équation x = t où t est un nombre réel positif.
Déterminer

d. Déterminer la valeur exacte de J - I où I = A(3) a été calculé à la question 4. a., et en déduire la double inégalité : 0 J - I 10^-2.
Donner, à l’aide d’une phrase, une interprétation graphique de J - I.

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