Exercice 1 : des boulons
Une entreprise industrielle utilise de grandes quantités d’un certain type de boulons.
Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre de la tête ou le diamètre du pied d’un boulon est conforme à la norme en vigueur.
Dans ce qui suit, tous les résultats approchés seront donnés à 10^-2 près.
1. Un boulon de ce type est considéré comme conforme pour le diamètre de sa tête si celui-ci
est, en millimètres, compris entre 25,30 et 25,70.
On note D la variable aléatoire qui, à chaque boulon choisi au hasard dans un lot très important, associe le diamètre de sa tête.
On suppose que D suit la loi normale de moyenne 25,50 et d’écart-type 0,10.
Déterminer la probabilité qu’un boulon choisi au hasard dans le lot soit conforme pour le diamètre de sa tête.
2. Dans un lot de ce type de boulons, 96 % ont le diamètre de la tête conforme.
On prélève au hasard 10 boulons de ce lot pour vérification du diamètre de leur tête. Le stock est suffisament important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 boulons. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 10 boulons, associe le nombre de boulons conformes pour le diamètre de la tête.
a. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
b. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus un boulon ne soit pas conforme pour le diamètre de la tête.
3. Dans cette question, on veut contrôler la moyenne µ de l’ensemble des diamètres, en mm, des pieds de boulon constituant un stock très important ; on se propose de construire un test d’hypothèse.
On note Y la variable aléatoire qui, à chaque boulon tiré au hasard dans le stock, associe le diamètre, en mm, de son pied.
La variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne inconnue µ et d’écart-type = 0,1.
On désigne par la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 boulons prélevé dans un stock, associe la moyenne des diamètres des pieds de ces 100 boulons (le stock est assez important pour que l’on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise).
L’hypothèse nulle est H₀ : µ = 10. Dans ce cas, les boulons du stock sont conformes pour le diamètre de leur pied.
L’hypothèse alternative est H₁ : µ 10.
Le seuil de signification du test est fixé à 0,05.
a. Justifier que, sous l’hypothèse nulle H₀, suit la loi normale de moyenne 10 et d’écart-type
0,01.
b. Sous l’hypothèse nulle H₀, déterminer le nombre réel positif h tel que
p(10 - h 10 + h ) = 0,95
c. Enoncer la règle de décision permettant d’utiliser ce test.
d. On prélève un échantillon de 100 boulons et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres des pieds est = 10,03.
Peut-on, au risque de 5%, conclure que les boulons du stock sont conformes pour le diamètre de leur pied ?
correction