Un artisan a le projet de réaliser le présentoir suivant, dont on donne la vue de face et la vue de droite, ainsi que le détail des formes des étagères. Il est constitué de deux montants courbes ( Profil 1 et Profil 2) et d'un montant droit portant quatre étagères ( forme elliptique) , également réparties sur la hauteur de l'ensemble. Les parties restantes des coupes des étagères formeront des équerres solidaires du montant vertical.

Exercice 1 : ( 13 points ) : l'étude portera sur l'étude du Profil 1
L'objectif de cet exercice est de déterminer le contour des profils et les dimensions des étagères.
On suppose que ce profil peut être celui de la courbe représentant la fonction f définie sur l'intervalle [-60 ; 60 ] par f(x) = ax² + c .
1. En admettant que cette courbe passe au sommet B(0 ; 200) et par le point A(60 ; 0) montrer que l'expression de f(x) peut s'écrire :

2. Compléter le tableau de valeurs N°1 situé en annexe 1. Les résultats seront arrondis à l'unité.
3. Représenter cette fonction, dans le repère fourni en annexe 1, sur l'intervalle [-60 ; 60].
4. Représenter dans le même repère les droites suivantes :
D₁ : y = 40       D₂ : y = 80          D₃ : y = 120           D₄ : y = 160
A partir des lectures graphiques, compléter le tableau de valeurs N° 2 situé en annexe 2 ( Les résultats seront arrondis à 0,5 près ).
5. Résoudre l'équation

sur l'intervalle [-60 ; 60 ]. Arrondir les résultats au dixième.
6. Calculer l'intégrale suivante, qui nous donne l'aire comprise entre la courbe et l'axe des abscisses :

Exercice 2 : ( 10 points ) : le profil de l'étagère

On désire tracer le profil elliptique par la méthode du jardinier. En partant des rayons de l'ellipse, on détermine ses foyers F et F' , puis on place deux pointes en ces points, on trace le profil en gardant une longueur constante (L) de la ficelle passant autour de ces pointes. L'objectif de l'exercice est de retrouver la position de ces foyers et la longueur de la ficelle.
On note OA = a , OB = b, OF = OF' = f , MF + MF' + FF' = L.
1. En considérant le point M en A, et que MF + MF' + FF' = L, montrer que : 2a + 2f = L.
2. Montrer que  
3. En considérant le point B, et que MF + MF' + FF' = L, montrer que :

4. En comparant les résultats précédents pour L, montrer que

Application numérique : calculer f et L pour a = 52,5 cm et b = 43,5 cm .
( Résultats arrondis à 0,1 près )
Exercice 3 : ( 3 points ) : estimation des pertes dans les découpes des étagères.
1. On estime les pertes à 1 % dans le cas des tailles des étagères 1 et 2. Elles sont découpées dans des panneaux rectangulaires de 46 par 108 cm d'une part et 40,5 par 96 cm d'autre part. Calculer alors la surface perdue lors de cette coupe.
( Exprimer le résultat en cm² et arrondi à l'unité )
2. L'étagère 3 est coupée dans un panneau rectangulaire de 39 par 77 cm, la perte est estimée à un rectangle de 7 par 75 cm. Calculer le pourcentage de perte. ( Arrondir le résultat au dixième )
Annexe 1 :