Exemple 1:
on veut simplifier la somme vectorielle
où A, B, C sont trois points fixés du plan ou de l'espace et M est un point quelconque du plan ou de l'espace.
L'astuce consiste à faire intervenir le barycentre G des points A , B et C affectés respectivement des coefficients 1, 2 et 4.
Le point G est définie par la relation vectorielle :
on a donc :
D'une somme de trois vecteurs on a "fabriqué" un unique vecteur , cela peut servir par exemple à simplifier la norme du vecteur
: 
Ces simplifications sont souvent utilisées pour la recherche lieux géométriques .
Exemple 2 :
on veut simplifier la somme vectorielle
où A, B, C sont trois points fixés du plan ou de l'espace et M est un point quelconque du plan ou de l'espace.
Dans ce cas il n'y a pas de barycentre par rapport aux coefficients proposés ( 3 + 1 - 4 = 0 )
cette somme vectorielle ne dépend donc pas du point M, en effet soit N un point distinct ou non du point M on a :
on peut prendre n'importe quel point N
par exemple A :
ou le point B :
ou le point C :
Dans tout les cas le vecteur obtenu ne fait plus intervenir le point M on a donc :
qui
est un vecteur constant de norme R constante .
