Définition 1 : Dans le plan ou dans l'espace , le barycentre G de 3 points A, B, C affectés des coefficients , ,

(avec + + 0 ) est le point unique tel que :
Démonstration ( voir la fonction vectorielle de Leibniz )

Construction du barycentre de 3 points
Applet pour faire varier les coefficients ...

Les définitions 1 et  2 sont équivalentes :

• en effet en prenant M = G on retrouve l'égalité  ⁽²⁾                                                     donc définition 2  définition 1
• En faisant intervenir M dans l'égalité (2) on retrouve la égalité de la définition 2 donc définition 1
  définition 2.

• Dans le plan muni d'un repère  si G est le barycentre de A(x_A; y_A) B(x_B;y_B), C(x_C;y_C) affectés des coefficients , , alors les coordonnées (x_G; y_G) doivent vérifier :

Pour démontrer ce résultat il suffit d'utiliser la  définition 2 du barycentre et prendre M = O.