On note C sa courbe représentative dans le repère orthonormal
d'unité graphique 2 cm.Partie A - Etude de la fonction f
1. Etudier la limite de f(x) lorsque x tend vers -2.
En déduire l'existence d'une asymptote D à la courbe C.
Donner une équation de cette asymptote.
2. a. Etudier la limite de f(x) lorsque x tend vers + ¥.
b. Déterminer trois nombres a, b, c tels que, pour tout x élément de ]-2 ; +¥[ , on ait :
c. Montrer que la droite D d'équation
est asymptote à la courbe C.
Etudier la position relative de la courbe C et de la droite D .
3. a. Montrer que la dérivée f' de la fonction f
peut s'écrire de la façon suivante :
b. En déduire les variations de la fonction f et dresser le tableau de variations de cette fonction sur sur ]-2 ; +¥[.
4. Représenter sur un même graphique les asymptotes D et D et la courbe C.
Partie B
Correction : 1.
donc la droite d'équation x = -2 est asymptote à la courbe
( asymptote verticale )
2.a.
2.b.
On en déduit que f(x) peut se mettre sous la forme :
c.
donc la droite d'équation
est asymptote à C.
Pour étudier la position relative de C par rapport à la
droite D
il faut étudier le signe de la différence :
si x + 2 > 0 c'est à dire si x > -2 cette différence
est négative
donc C est en dessous de la droite D sur l'intervalle
]-2 ; +¥[.
3. a. f est dérivable sur ]-2 ; + ¥[.
donc on a bien pour tout réel x de ]-2 ; + ¥[
.
f'(x) > 0 sur ]-2 ; + ¥[ donc f est strictement
croissante sur
]-2 ; + ¥[ :
