Partie A : Etude du signe de x³ - 1 + 2 ln x
1. La fonction g est dérivable sur ]0 ; + [ :

donc la fonction g est strictement croissante sur ]0 ; + [.
2. Tableau de variation de la fonction g.

3. g(1) = 1 - 1 + 2 ln 1 = 0
4.
Si x 1 , alors g(x) g(1) puis que la fonction g est croissante soit g(x) 0
Si x 1 , alors g(x) g(1) puis que la fonction g est croissante soit g(x) 0
conclusion : sur ]0 ; 1] , g(x) 0 et sur [1 ; + [ , g(x) 0
On peut résumer tout cela par le tableau de signe suivant :

Partie B : Courbe représentative d'une fonction et calcul d'aire

On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ par :
.
On appelle (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal .
(unités : 3 cm sur l'axe des abscisses, 2 cm sur l'axe des ordonnées.)

1.a


De la dernière limite, on en déduit que la droite d'équation x = 0 est asymptote verticale
à la courbe (C).
(*) voir formulaire
1.b

donc la droite (D) d'équation y = x - 1 est asymptote oblique à (C).
Il y a une autre asymptote à la courbe (C) ( voir 1.a.) , c'est la droite d'équation x = 0.
1.c
.

1.d f '(x) est du signe de g(x) car x³ > 0 sur ]0 ; + [ et le signe de g(x) a déja été trouvé à la partie A :

f ( 1) = 0

1.e Soit x l'abscisse du point d'intersection de l'asymptote (D) et de la courbe (C) , on a :

f(x) = x - 1 soit ln x = 0 , par conséquent x = 1.
l'ordonnée de ce point est f(1) = 0 .
La courbe (C) et la droite (D) se coupent au point de coordonnées (1 ; 0 )
f(x) - ln x est du signe de - ln x ( voir Partie B 1 .b)
Etudions le signe de - ln x :
- ln x 0 si ln x 0 soit ln x ln 1 d'où x 1
sur ]0 ; 1] , - ln x 0 donc la courbe (C) est au dessus de la droite (D)
sur [1 ;+ [ , - ln x 0 donc la courbe (C) est au dessous de la droite (D)

1.f

2.a

donc H est une primitive de la fonction h définie sur ]0 ; + [
2.b Soit le domaine plan limité par (D), (C) et les droites d'équation x = 1 et x = .
^{Sur [1 ;} ] la courbe (C) est au dessous de (D) donc l^{'aire du domaine} limité par (D), (C) et les droites d'équation x = 1 et x = est en unité d'aire :

on trouve en arrondissant au mm² : ^{0,54 cm².}