Le but de ce problème est l'étude de la conception, des caractéristiques et de la commercialisation d'une bobine de fil.

Partie A : Détermination d'une fonction f nécessaire à la conception d'une bobine.

Soit  f   la fonction numérique définie, pour tout nombre réel x de l'intervalle [0, 4], par :
f (x) = ax² + bx + c
Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal
(unité graphique 1 cm)
On impose les conditions suivantes :

1. Calculer a, b et c pour que les trois conditions précédentes soient remplies et en déduire que pour tout x de l'intervalle [0 , 4], 

2. Montrer que la fonction f admet sur [0 , 4] un minimum que l'on précisera.
3. Construire la courbe (C) dans le repère .

Partie B : Conception et étude des caractéristiques de la bobine.

Soit la partie du plan limitée par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = 4.
La rotation de la partie autour de l'axe des abscisses engendre un solide (B). Ce solide est la bobine ci-dessous dessinée (fig.1).

1.
a. Hachurer la partie sur le graphique.
b. Vérifier que pour tout x de ,

c. En déduire la valeur exacte en cm³ du volume V₁ de la bobine sans fil.
On rappelle que :

2. Lorsque le fil est placé sur la bobine, l'ensemble " bobine avec fil " est assimilé à un cylindre (voir fig.2).
a. Calculer la valeur exacte, en cm³ du volume V₂ de ce cylindre.
b. En déduire la valeur exacte, en cm³, du volume V occupé par le fil sur la bobine.

3. Le fabriquant affirme que la bobine ainsi constituée contient 200 m de fil cylindrique de
    diamètre 0,4 mm. Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?

Partie C : Commercialisation des bobines.

A l'issue de la fabrication, une bobine de fil peut présenter 0, 1, 2 ou 3 défauts.
90% des bobines de fil ont 0 défaut.
  5% des bobines de fil ont 1 défaut.
  3% des bobines de fil ont 2 défauts.
  2% des bobines de fil ont 3 défauts.

1. On choisit au hasard une bobine de fil. Calculer la probabilité pour qu'elle présente au plus un défaut.

2. Soit X la variable aléatoire qui à chaque bobine de fil choisie au hasard associe le nombre de ses défauts.
a. Définir à l'aide du tableau la loi de probabilité pour qu'elle présente au plus un défaut.
b. Calculer l'espérance mathématique E(X) et donner une valeur approchée à 10^-2 près de
l'écart type de la variable aléatoire X.

3. Le prix de vente d'une bobine de fil dépend du nombre de défauts qu'elle présente comme l'indique le tableau suivant :

Soit Y la variable aléatoire qui à chaque bobine de fil choisie au hasard associe son prix.
a. Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire Y.
b. Calculer l'espérance mathématique E(Y) de Y. Que représente E(Y) ?