Partie A : Etude du signe de x³ - 1 + 2 ln x

Soit g la fonction définie sur ]0 ; + [ par g(x) = x³ - 1 + 2 ln x.
( ln x désigne le logarithme népérien de x)
1. Calculer g'(x) et étudier son signe.
2. Dresser le tableau de variation de la fonction g.
(Les limites ne sont pas demandées).
3. Calculer g(1).
4. Déduire des questions précédentes le signe de g(x) sur l'intervalle ]0 ; + [ .

Partie B : Courbe représentative d'une fonction et calcul d'aire

On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ par :
.
On appelle (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal .
(unités : 3 cm sur l'axe des abscisses, 2 cm sur l'axe des ordonnées.)

1.a Déterminer
.    

1.b Montrer que la droite (D) d'équation y = x - 1 est asymptote oblique à (C).
Y a-t-il une autre asymptote à (C) ?  Si oui, donner son équation.

1.c Calculer f '(x) et montrer que l'on peut écrire
.

1.d En utilisant les résultats de la partie A, déterminer le signe de f'(x), puis dresser le tableau de variation de la fonction f.

1.e Calculer les coordonnées du point d'intersection entre l'asymptote (D) et la courbe (C). Etudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (D).

1.f Tracer dans le repère la courbe (C) et les droites (D).

2.a Montrer que la fonction H définie par :

est une primitive de la fonction h définie sur ]0 ; + [ par :

2.b Soit le domaine plan limité par (D), (C) et les droites d'équation x = 1 et x = . Hachurer ; calculer la valeur exacte de l'aire, en cm², de ; en donner une valeur approchée au mm²
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