Partie A - Etude graphique d'une fonction
Soit f la fonction définie sur ]-
;
+[ par :
On trouvera sur le graphique ci-après, le tracé de la courbe
C représentative de f et le tracé de la tangente à
la courbe C au point K(0 ; 1) , dans le repère orthonormé
.
On admet que le point K est centre de symétrie de la courbe C et
que le point B(1; 3) appartient à la tangente T.
1. On se propose de démontrer certaines propriétés
de la courbe C.
a. Etudier la limite de f en -
et préciser l'asymptote à C correspondante
b. On admet que pour tout réel x, f(x) peut se mettre sous la forme
:
.
En déduire la limite en +
et préciser l'asymptote à C correspondante.
c. Vérifier par le calcul, que le point A(-ln2, 0) est un point
de la courbe C.
2. Grâce à une lecture graphique, répondre aux questions
suivantes en justifiant vos réponses.
a. Déterminer la valeur de f'(0)
b . Donner le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
Partie B - Etude d'une primitive de f sur ]-;
+[
Soit F la fonction définie sur ]-;
+[ par :
et (
) sa courbe
représentative dans le repère orthonormé
.
1. Etudier la limite de F en - .
Interpréter graphiquement ce résultat pour la courbe ().
2. a. vérifier que pour tout réel x , F(x) peut s'écrire
:
.
b. Calculer la limite de F en +,
puis la limite de F(x) - (2x) en +
c. En déduire que la courbe ()
admet une asymptote.
3. a. Démontrer que f est la fonction dérivée de
F sur ]-; +[
b. Vérifier que F(-ln2) = ln (3/4)
c. Déduire de la partie A le tableau de variation de la
fonction F.
4. Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les résultats
à 10-2 près :
5. Sur la feuille de papier millimétré, tracer dans le repère
d'unités
graphiques 4 cm, les droites d'équations respectives y = 2x et
y = 0, puis la courbe ().
Partie C - Calcul d'une aire
1. Calculer la valeur exacte de 
.
2. En déduire la valeur exacte en cm² de l'aire du domaine
AOK (grisé sur la courbe jointe ) et en donner une valeur approchée
à un millimétre carré près par excès.
