Partie A
Soit g la fonction définie sur l'intervalle I par :
g(x) = x² + 3 - 2 ln x
1.a. On note g' la dérivée de la de fonction g ; calculer g'(x) et étudier son signe, pour x appartenant à l'intervalle I.
b. Dresser le tableau de variations de la fonction g.
Les limites de la fonction g en 0 et en + ¥ ne sont pas demandées.
2. Calculer g(1), en déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l'intervalle I.
Partie B
Soit f la fonction définie sur l'intervalle I par :
On note f ' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle I et C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal
d'unités
graphiques 2 cm.1. a. Étudier la limite de f en 0 et en déduire l'existence d'une asymptote à la courbe C.
b. Étudier la limite de f en + ¥.
2. a. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle I,
b. Déduire de la partie A le signe de f´(x) puis le sens de variation de f sur l'intervalle I.
c. Établir le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle I.
3. Soit D la droite d'équation y = ½ x dans le repère
a. Montrer que la droite D est asymptote à la courbe C.
b. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection E de la courbe C et de la droite D.
c. Sur l'intervalle I, déterminer la position de la courbe C par rapport à la droite D.
4. En utilisant les résultats précédents, tracer avec soin dans le même repère
la droite D et
la courbe C.Partie C
1. On considère la fonction h définie sur l'intervalle I par :
En remarquant que
est de la forme u'(x).u(x), déterminer une primitive de la fonction h sur l'intervalle I.
2. Hachurer sur le graphique la partie du plan limitée par la courbe C, la droite et les deux droites d'équations x = 1 et x = e1/2
Calculer l'aire, exprimée en cm2, de cette partie hachurée.
Partie A
1.a. La fonction g est dérivable sur I comme somme de fonctions dérivables sur I et :
(x + 1) et x sont strictement positifs sur l'intervalle I donc g'(x) est du signe de x - 1.
1.b. On en déduit le tableau de variation de g :
2. a. g(1) = 1² + 3 - 2 ln 1 = 4
donc g admet sur un minimum absolu en 1 qui est 4, donc pour tout réel x de l'intervalle I, g(x) > 0.
Partie B
1.a.
Par conséquent la droite d'équation x = 0 est asymptote à C ( asymptote verticale )
1.b.
2.a.
2.b.
f '(x) est du signe de g(x) puisque 2x² > 0 sur I.
Or g(x) > 0 sur I , il en résulte f est strictement croissante sur I.
2.c.
3.a.
Donc la droite D d'équation y = ½ x est bien asymptote à la courbe C. ( asymptote oblique )
3. b.
Soit (x ; y ) les coordonnées de E , E est le point d'intersection de D et de C, donc ses coordonnées sont solutions du système :
résolvons l'équation
sur I pour trouver l'abscisse du point E :
l'abscisse du point E est
,
son ordonnée est doncy =
/ 2E(
; /
2)c. pour étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D, il suffit d'étudier le signe de l'expression f(x) - x/2 =
Cette expression est du signe de -1 + 2lnx puisque x > 0 sur I.
-1 + 2lnx > 0
2lnx > 1 ln
x >1/2 x > C est au dessous de la droite D sur l'intervalle [0 ;
] C est au dessus de la droite D sur l'intervalle [
; + ¥ [4.
Partie C
1.
2.
La droite D étant au dessus de la courbe C sur l'intervalle [1; e1/2]
