Partie A
Soit g la fonction définie sur ]0 ; + ¥[ par :
g(x) = x ln x - 2x + 3
1.a. Déterminer la limite de g en 0.
( on admettra que
)b. Déterminer la limite de g en + ¥
(on pourra mettre x en facteur ).
2. Déterminer à l'aide de la dérivée g', le sens de variation de la fonction g.
Dresser le tableau de variations de g.
3. Calculer g(e). En déduire que pour tout x appartenant à ]0 ; + ¥[, g(x) > 0
Partie B
Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ¥[ par :
f(x) = 2x² ln x - 5x² + 12 x
On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal ayant pour unités graphiques :
- 2 cm en abscisse,
- 1 cm en ordonnée.
1. Soit x appartenant à ]0 ;
+ ¥[. Montrer que f '(x) = 4g(x).
2. a. Déterminer la limite de f en 0.
b. Déterminer la limite de f en + ¥.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
4. a. Déterminer une équation de la tangente T1 à C en son
point I d'abscisse 1.
b. Déterminer une équation de la tangente T2 à C en son
point K d'abscisse e.
5. Tracer T1 , T2 et C .
Partie C
1. Soit la fonction définie sur ]0 ;
+ ¥[ par
et h la fonction définie sur ]0 ;
+ ¥[ par h(x) = x² lnx.
Vérifier que H est une primitive de h sur ]0 ;
+ ¥[ .
2. Soit D la partie du plan
limitée par les droites d'équation x = 1 et x = e, l'axe des
abscisses et la courbe C. Calculer l'aire A, exprimée en unité d'aire,
de la partie D. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au
centième.
Partie A
1.a.
1.b.
2. g est dérivable comme somme de fonction dérivable sur ]0 ; + ¥[, calculons g'(x) :
Étudions le signe de g'(x) :
g'(x) > 0
ln x - 1> 0 ln
x > 1 x > edonc g est décroissante sur [0 ; e] et elle est croissante sur [e ; + ¥ [
On en déduit le tableau de variation de la fonction g :
3. g(e) = e ln e - 2e + 3 = e - 2e + 3 = 3 - e
g admet sur l'intervalle ]0 ; + ¥[ un minimum absolu en e qui est 3 -e , donc pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; + ¥[
g(x) > 3 - e > 0.
Partie B.
1.
f est dérivable comme somme de fonctions
dérivables sur ]0 ; + ¥[
2. a.
b.
3. f'(x) = 4 g(x) donc f'(x) > 0 sur ]0 ; + ¥[ d'ou f est strictement croissante sur ]0 ; + ¥[.
4. a.
Tangente T1 à C en son point I d'abscisse 1.
f'(1) = 4(1ln1-2+3) = 4
Le coefficient directeur de T1 est 4.
f(1)= 2ln1 - 5 + 12 = 7.
y - f(1) = f'(1)(x - 1)
y - 7 = 4(x - 1)
T1 : y = 4x + 3
b.
f'(e) = 4g(e) = 4(3 - e) =12 - 4e est le coefficient directeur de la tangente en e.
f(e) = 2e²lne - 5e² + 12 e = 2e² - 5e² + 12e = - 3e² + 12 e
Équation de T2
y = - 3e² + 12e + (12 - 4e)(x - e)
y = (12 - 4e)x - 3e² + 12e - 12e + 4e²
T2 : y = (12 - 4e)x + e²
5.
Partie C
1.
La fonction H est dérivable sur ]0 ; + ¥[ et on a :
( forme (uv)' = u'v + uv' )
On en déduit que H est une primitive de la fonction h sur ]0 ; + ¥[ .
2.
Sur l'intervalle [1; e] , la courbe C est au dessus de l'axe des abscisses donc l'aire A de la partie D est égale en unité d'aire à :
( vérifiez quand même ! )
soit environ A
31,35
cm²
