1. Déterminer la limite de g en 0 et en + . Que peut-on en déduire pour C_g ?
2. Déterminer , à l'aide de la dérivée g', le sens de variation de g. Dresser le tableau de variation de g.
3. 

courbe 1

courbe 2

courbe 3

4. Calculer g(1/e) . En déduire, pour tout x appartenant à ]0 ; +[, le signe de g(x).
Partie B - Étude d'une fonction et 
tracé de sa courbe représentative
Soit la fonction f définie sur ]0 ; +[ par : 

On note C_f la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal ( unités graphiques : 4 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée ).
1. Soit x appartenant à ]0 ; +[. Vérifier que f '(x) = g(x).
2. Déterminer les limites de f en 0 et en +
3. Dresser le tableau de variation de f.
4. Déterminer l'équation de la tangente (T) à C_f en son point I d'abscisse 1. Préciser la position de C_f par rapport à (T). 
5. Tracer (T) et C_f
Partie C -Calcul d'une aire
1. Soit H la fonction définie sur ]0 ; +[ par : 
H(x) = x (ln x)² - 2x ln x + 2x
Soit h la fonction définie sur ]0 ; +[ par : h(x) = (ln x) ².
Vérifier que H est une primitive de h sur ]0 ; +[ .
2. Soit (D) la partie du plan limitée par les droites d'équations x = 1 et x = e, la tangente (T) et la courbe C_f . Calculer l'aire A, exprimée en cm² de (D) . On donnera la valeur exacte, puis l'approximation décimale par défaut à 10^-2 près.

g'(x) est du signe de 1 - lnx puisque x² est strictement positif sur ]0 ; +[ , étudions donc le signe de 1 - ln x
1 - ln x > 0 1 > ln x e > x 


3. 

• La courbe n°1 est en dessous de la droite d'équation y = e ce qui est en contradiction avec la fonction g, puisque la fonction g est telle que g(e) > e.
• La courbe n°2 est la courbe représentative d'une fonction décroissante, puis croissante, ce qui est en contradiction avec la fonction g qui est croissante sur [0 ; e] et décroissante sur  
  [e ; + [.
• La courbe n°3 est la courbe qui correspond à la fonction g, g admet bien un maximum en e et ce maximum est bien strictement supérieur à e.

4. 



On en déduit le signe de g(x) sur ]0 ; +[


Partie B
1. f est dérivable sur ]0 ; +[ et :

2.
On peut en conclure que la courbe C_f admet un asymptote horizontale d'équation x = 0.

3. f'(x) = g(x) on en déduit les variations de f


4. Équation de la tangente au point d'abscisse 1.
Calcul du coefficient directeur de cette tangente 

e est le coefficient directeur de cette tangente.

y - f(1)= f'(1) ( x - 1)
y - 0 = e(x - 1)
Équation de la tangente
(T) : y =ex - e
Pour étudier la position de la courbe C_f par rapport à la tangente (T) d'équation y = ex - e il suffit d'étudier le signe de f(x) - ( ex - e)

On en déduit que C_f est au dessus de sa tangente (T) au point d'abscisse 1.
5.

Partie C.

1. La fonction H est dérivable sur ]0 ; +[ : 

donc H est bien une primitive de h sur ]0 ; +[
2.