- I désigne l'intervalle ]0 ; +
[ - f désigne la fonction définie, pour tout x de l'intervalle ]0 ; +[,
par :
- f ' désigne la fonction dérivée de la fonction f;
- Cf désigne la courbe représentative de la fonction f dans le plan rapporté à un repère orthogonal (Ox, Oy) d'unité graphiques 4 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.
Partie A
1.a. Vérifier que, pour tout x de l'intervalle I :
b. Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers +¥,
et la limite quand x tend vers 0.
En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe Cf
2. a. Vérifier que pour tout x de l'intervalle I :
b. Étudier, pour tout x de l'intervalle I , le signe de f'(x) .
En déduire le sens de variation de la fonction f et que, pour tout x de
l'intervalle I, f(x) > 0.
3. a. Résoudre, dans l'intervalle I,
l'équation d'inconnue x, f(x) = 9/2.
b. Déduire, du résultat obtenu à la question précédente, les
coordonnées des points A et B, points d'intersection de la courbe Cf
et de la droite dont une équation est y = 9/2.
( A est le point d'intersection dont l'abscisse est la plus petite.)
Partie B
Soit la fonction g définie pour tout x de l'intervalle I, par :
g(x) = ex + 1.
On note Cg la courbe représentative de la fonction g
dans le plan rapporté au repère (Ox, Oy).
Cg est donnée sur le graphique ci-après.
On note h la fonction définie , pour tout x de l'intervalle I, par:
h(x) = f(x) - g(x).
1. a. Étudier, pour tout x de l'intervalle I, le signe de h(x) ; en
déduire la position de Cf par rapport à la courbe Cg.
b. Résoudre dans l'intervalle I, l'inéquation h(x) 
0,05.
On admet que deux points du plan de même abscisse sont indiscernables sur
un dessin dès que la différence de leurs ordonnées a une valeur absolue
inférieure à 0,05.
Déterminer un demi-plan dans lequel les courbes Cf et Cg
sont indiscernables.
c. Tracer, avec soin, la courbe Cf sur le graphique ci-après.
2. Montrer que, pour tout x de I :
en déduire une fonction primitive de h sur I.
3. Calculer l'aire S de la partie du plan délimitée par la courbe Cf,
la courbe Cg et les droite d'équation
x = ln 2 et x = ln3. ( Exprimer le résultat en cm² )
Partie A
1.a. Cela correspond à démontrer une égalité.
Pour tout x de l'intervalle I :
donc
1.b
Si x > 0 alors ex > 1, d'ou ex - 1 > 0 par conséquent :
on en déduit :
par définition la droite d'équation x = 0 ( axe des ordonnées ) est asymptote à la courbe Cf (asymptote verticale )
2.a. f est dérivable sur I et :
Remarque : on a utiliser la formule suivante pour dérivée
b. Le signe de f'(x) ne dépend que du signe de ex - 2, puisque les expression e2x et (ex - 1) sont toujours strictement positives sur I.
Étudions le signe de ex - 2
ex - 2 > 0
ex
> 2 ln
ex > ln2 ( car la fonction logarithme népérien est
strictement croissante sur ]0;+¥[ ) x >
ln 2donc f est décroissante sur ]0 ; ln2] et elle est croissante sur
[ln2 ; + ¥ [.
f admet sur I un minimum absolu en ln 2 , ce minimum est 4, donc pour tout x de l'intervalle I, f(x)
4 > 0.3.a.
Pour résoudre cette dernière équation, posons X = ex
on a X² = e2x et X est un nombre strictement positif puisque
ex > 0.
2X² - 9X + 9 = 0
Ces deux solutions pour X sont acceptable puisque strictement positives
en reprenant X = ex
on a donc ex = 3 ou ex =3/2
d'ou x = ln3 ou x = ln(3/2)
S = {ln3; ln(3/2)}
3. b. Il s'agit d'interprétation graphique les solutions de l'équation f(x) = 9/2 sont les abscisses des points d'intersections de Cf avec la droite d'équation réduite y = 9/2, on a trouvé ln (3/2) et ln3 comme solution pour l'équation f(x) = 9/2, donc A et B sont les points
A(ln(3/2) ; 9/2 ) , B(ln3 ; 9/2).µ
Partie B
1.a
Étudions le signe de h(x) sur I :
sur I, ex - 1> 0, donc h(x) > 0.
On en déduit que la courbe représentative de f est au dessus ( strictement au dessus ) de la courbe représentative de g.
1.b.
(Pour résoudre cette inéquation, on utilise le théorème de rangement des inverses et des logarithmes.)
Le demi-plan dans lequel les courbes Cf et Cg sont indiscernables est le demi-plan caractérisé par l'inéquation
x
ln 21.c.
2. Pour tout réel x de I on a :
( voir comment démontrer une égalité )
L'expression qui suit est de la forme u'/u avec u(x) = ex - 1 et u'(x) = ex avec u> 0 sur I
On sait que une primitive d'une telle fonction est ln |u|
Soit H une primitive de h sur I , on a alors :
3. On sait que la courbe représentative de f est au dessus ( strictement au dessus ) de la courbe représentative de g sur I
donc l'aire de la partie du plan est égale en unité d'aire à :
Soit A l'aire de partie du plan définie dans l'énoncé, l'unité d'aire étant 4 cm² , A = 4 ln(4/3) cm²
