des nombres complexes l'équation en z : z² - 6z + 13 = 0
2. a. Déterminer les réels b et c tels que pour tout complexe z :
z3 - 9z² + 31z - 39 = (z - 3)(z² + bz + c)
b. En déduire les solutions dans
de l'équation en z : z3 - 9z² + 31z - 39 = 0.
3. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal
(unité : 2 cm )
Soient A, B, E et F les points d'affixes respectives :
a. Placer les points A, B, E et F dans le plan complexe ( sur papier millimétré).
b. Calculer les distances FA, FB et FE. En déduire que les points A, B et E appartiennent à un cercle (
)
de centre F. c. Quelle est la nature du triangle ABE ?
Correction :
1.
2.a.
par identification ( avec le polynôme z3 - 9z² +
31z - 39) on en déduit :
donc on peut en conclure que :
z3 - 9z² + 31z - 39 = (z - 3)(z² - 6z + 13)
2.b.
z3 - 9z² + 31z - 39 = 0 équivaut à
(z - 3)(z² - 6z + 13) = 0 équivaut à
z - 3 + 0 ou z² - 6z + 13 = 0 équivaut à
z = 3 ou z = 3 - 2i ou z = 3 + 2i
S = { 3 ; 3 - 2i ; 3 + 2i }
3. a
3.b.
AF = BF = EF = 2 donc A, B, E appartiennent au cercle ()
de centre F et de rayon 2.
3.c.
donc F milieu de [AB] or F est le centre du cercle (
) , [AB] diamétre du cercle (
), E appartient au cercle (
) or un triangle inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses
côtés est un triangle rectangle donc ABE est rectangle en
E.
Autre méthode :
calculer les distances AB, AE, BE et appliquer la réciproque du
théorème de Pythagore.
