EXERCICE 2 : (11 points)
PARTIE A :
1. Recette, en milliers d'euros, pour une production de 3 tonnes :
36,75 3 = 110,25 milliers d'euros
Recette, en milliers d'euros, pour une production de 10 tonnes :
36,75 10 = 367,5 milliers d'euros
2. R (x) = 36,75 x

3.a Sur l'intervalle [3,25 ; 11,75] la courbe représentation de la fonction R est au dessus de la courbe donc c'est sur cet intervalle que l'entreprise réalise un bénéfice.
L'entreprise réalise donc un bénéfice pour une production comprise entre 3,25 tonnes et 11,75 tonnes.
3.b. Ce bénéfice est maximum sur l'intervalle [8 ; 9].

PARTIE B :
1. B (x) = R(x) - C(x) = 36,75 x - (x³ - 15x² + 75x) = 36,75 x - x³ + 15x² - 75x
B (x) = - x³ + 15x² - 38,25x
2. R'(x) = -3x² + 30x - 38,25 = -3(x² - 10x + 12,75)
= 49 > 0 donc le polynôme x² - 10x + 12,75 admet deux racines réelles distinctes :
x₁ = (10 - 7)/2 = 3/2 = 1,5 ; x₂ = (10 + 7)/2 = 17/2 = 8,5 donc
B '(x) = - 3(x - 1,5)( x - 8,5) = 3(x - 1,5)(8,5 - x)
( autre méthode sans le calcul du discriminant , en montrant que 3(x - 1,5)(8,5 - x) = -3x² + 30x - 38,25 )
3. Pour x appartenant à l'intervalle [5 ; 10] , B '(x) est du signe de 8,5 - x car 3(x - 1,5) > 0 sur [1 ; 5]
R(5) = 58,75 ; R(8,5) = 144,5 ; R(10) = 117,5

4. La valeur de x qui assure un bénéfice maximum est 8,5 tonnes et le maximum est 144,5 milliers d'euros .