Une entreprise fabrique et commercialise un produit. Sa capacité de production, sur un mois, lui
permet de réaliser entre 0 et 13 tonnes de ce produit. On désigne par x le nombre de tonnes de
produit fabriqué par l'entreprise en un mois.
Le coût de production, exprimé en milliers d'euros, est donné par : C (x) = x3 - 15x2 + 75x.
Cette entreprise vend l'intégralité de ce qu'elle produit au prix de 36,75 milliers d'euros la tonne.
La recette, pour x tonnes produites, est notée R (x), exprimée en milliers d'euros.
On donne en annexe la représentation graphique
de la
fonction C sur l'intervalle [0 ; 13].Unités graphiques : 1 cm pour 1 tonne en abscisse et 2 cm pour 100 milliers d'euros en ordonnée.
PARTIE A :
1. Calculer la recette, en milliers d'euros, pour une production de 3 tonnes puis de 10 tonnes.
2. Donner l'expression de R (x) en fonction de x et représenter la fonction R dans le repère donné en annexe. (Cette annexe est à rendre avec la copie)
3. Dans cette question, les tracés nécessaires aux déterminations graphiques devront figurer sur le schéma.
a) Déterminer graphiquement l'intervalle auquel doit appartenir x pour que l'entreprise réalise un bénéfice.
b) Déterminer graphiquement un intervalle de longueur 1 dans lequel se situe la valeur de x permettant d'obtenir un bénéfice maximum.
PARTIE B :
Dans cette partie, on se propose de déterminer plus précisément cette valeur de x permettant d'obtenir un bénéfice maximum (cf. question 3. b) précédente).
1. On désigne par B (x) le bénéfice réalisé pour x appartenant à l'intervalle [5 ; 10].
Montrer que B (x) = - x3 + 15x2 - 38,25.
2. Calculer B '(x) où B ' désigne la dérivée de la fonction B.
Montrer que B '(x) = 3(x - 1,5)(8,5 - x).
3. Préciser le signe de B '(x) pour x appartenant à l'intervalle [5 ; 10] et dresser le tableau de variations de la fonction B sur cet intervalle.
4. Quelle est la valeur de x qui assure un bénéfice maximum ?
Quelle est alors la valeur de ce maximum en milliers d'euros ?
