PROBLÈME (9 points)
PARTIE A
1. limite de f en 0.

donc la droite d'équation x = 0 est asymptote ( verticale ) à la courbe (C).
2. On peut mettre x² en facteur dans l'expression de f(x) car x est non nul :


3. Pour tout réel x de ]0;+[,


4. f '(x) est du signe de - (x - 1)(x - 4) car x > 0 sur ]0;+[.
le polynôme - (x - 1)(x - 4) admet deux racines 1 et 4 est son signe est négatif à l'extérieur des racines et positif sinon.
5.
f(1) = -1² + 10 - 9 - 8 ln 1 = -1 + 1 - 8 ln 1 = 0
f(4) = -4² + 40 - 9 - 8 ln 4 = -16 + 31 - 8 ln 4 = 15 - 8 ln 4

6. a.

b. Il est normal que l'équation f(x) = 0 admet deux solutions, 1 et dans ]0;+[
sur [0 ; 4] voir tableau de variation c'est 0.
sur [4 ; +[ , la fonction f est strictement décroissante f(6,19) > 0 et f(6,2) < 0 donc la solution est telles que 6,19 < < 6,2.
c. voir graphique
7

donc F est une primitive de f sur ]0;+[.
8. voir graphique .Sur l'intervalle [3 ;6] , la courbe représentative de f
est au dessus de l'axe des abscisses l'aire du domaine demandé (P )est donc en unité d'aire :
.
PARTIE B - Application économique.
1. f (x) < 0 pour x > 6,2 ,
Conclusion : à partir de 62 pièces par jour, l'entreprise commence à travailler à perte.
2. f atteint son maximum en x = 4 et graphiquement f(4) 3,9
Le bénéfice est donc maximum pour 40 pièces dans ce cas le bénéfice est de 3900 € / jour.
3. Bénéfice moyen journalier =

= (69 - 48 ln 6 + 24 ln 3)/3 = 23 - 16 ln 6 + 8 ln 3 3,121 milliers d'euros soit 3121 € .