Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  . |
| Toutes les courbes demandées seront
représentées sur un même graphique |
| (unité graphique : 2cm). |
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A. ÉTUDE D' UNE FONCTION f
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On définit la fonction f sur ]0 ; + [
par |
 |
| 1. Calculer les limites
de f en 0 et en +. |
| 2. Étudier le sens
de variation de f sur ]0 ; +[
. |
3. Soit  la courbe
représentative de f dans et A le point de |
| d'abscisse 3. |
| Calculer l'ordonnée de A. Soit B le point de
d'abscisse 5/4, P le projeté |
orthogonal de B sur l'axe 
et H le projeté orthogonal de B sur l'axe |
 . |
| Déterminer les valeurs exactes des
coordonnées des points B, P
et H. placer |
| les points A, B, P et H dans le
repère et représenter la courbe . |
|
B. UTILISATION D' UNE ROTATION
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| Soit r la rotation ce centre O et d'angle |
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| A tout point M du plan d'affixe z,
la rotation r associe le point M' d'affixe z'. |
| 1. a. Donner z'
en fonction de z. |
| On note z = x + iy et z' = x' + iy'
(x, y, x', y' réels ) exprimer
x' et y' en |
| fonction de x et y, puis exprimer x
et y en fonction de x' et y'. |
| b. Déterminer les coordonnées
des points A', B' et P' images respectives des |
| points A, B et P par la rotation r. |
| 2. On appelle g la fonction définie sur IR
par |
 |
et  sa
courbe représentative dans le repère . |
| a. Montrer
que lorsqu'un point M appartient à , son
image M' par r |
| appartient à .
On admet que lorsque le point M décrit , le
point M' décrit |
| . |
| b. Tracer sur le graphe
précédent les points A', B', P' et la courbe |
| (L'étude des variations n'est pas
demandée). |
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C. CALCUL D'INTÉGRALES
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On rappelle que l'image d'un domaine plan par une rotation
est un domaine de |
|
même aire. |
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1. Calculer l'intégrale
|
|
Interpréter
graphiquement cette |
| intégrale. |
| 2.a Déterminer,
en unités d'aire, l'aire A
du domaine plan D
limité par les |
| segments [AO], [OH], [HB] |
 |
| Trouver une relation
entre A et I puis en déduire la valeur
exacte de l'intégrale I. |
