Partie A. Étude d'une suite
1. a)
b)
c) On peut conjecturer que la suite (yn) est croissante et convergente vers 2.
2. a) Pour tout réel x, on a : p' (x) = - 0,4 x + 1 .
sur [0; 2], x
[0; 2] soit 0 
x
2 donc 0 
-0,4x - 0,8
donc 1 -0,4x
+ 1 0,2donc sur [0; 2] , p' (x) = - 0,4 x + 1 > 0 , la fonction f est donc strictement croissante sur [0; 2]
Pour tout réel x de [0 ; 2], c'est à dire tel que 0
x
2 comme p strictement croissante on a : p(0)
p
(x) p
(2) donc 0,8 p(x)
2 par conséquent
p(x)
[0; 2].b) Démontrons la propriété par récurrence :
y0 = 0 donc 0
y0
2 la propriété est vrai au rang 0. supposons que pour un certain rang n on ait : 0
yn
2 d'après la propriété précédente 2.a
) on a : 0
p( yn
) 2 soit encore 0
yn+1
2 donc la propriété
reste encore vrai au rang n + 1. Conclusion : pour tout entier naturel n, 0
yn
2.c)Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n on a yn+1
yn y1
y0 donc la propriété est vrai au rang 0.
supposons que pour un certain rang n on ait : yn+1
yn
comme la fonction p est strictement croissante on a : p(yn+1)
p( yn
) soit encore yn+2
yn+1 donc la propriété reste
vrai au rang n+ 1. On a donc pour tout entier naturel n on a yn+1
yn
donc la suite yn est croissante . d) La suite (yn) est croissante et majorée par 2 donc elle est convergente.
Partie B. Étude d'une fonction
Soit g la fonction définie sur [0, +
[ par 
et (Cg) sa courbe représentative.
1. Montrer que la fonction g vérifie les conditions (1) et (2)
g est dérivable sur [0, +
[ comme quotient de deux fonctions dérivables sur [0, +
[ ( e4x + 1 ne peut s'annuler sur [0, +
[ ) et pour tout réel x de [0, +
[ on a : 
g satisfait à la condition (1)
g satisfait à la condition (2).
2. a)
(Cg) admet la droite
d'équation y = 2 comme asymptote en + b)
D'après B.1 , g'(x) > 0 sur [0, +
[ donc la fonction g est strictement croissante sur [0, +
[ 3. Déterminons l'équation de la tangente à (Cg) à l'origine :
L'équation de la tangente à (Cg) à l'origine a donc pour équation y = g'(0)x + g(0) soit y = 4x.
L'abscisse a du point d'intersection de
et de la tangente à (Cg) à l'origine est solution de l'équation
4x = 2 soit x = 1/2.
a = 1/2
4.
