Exercice 1
a.
( 1 - 3 ; 2 -
2 ; 4 - 6) soit
( - 2 ; 0 ; -2)
( 4 - 1 ; -2 -
2 ; 5 - 4) soit
( 3 ; - 4 ; 1)
Les vecteurs et
sont colinéaires
si et seulement si
il existe un réel k tel que
= k si
et seulement si
donc il n'existe pas de réel k tel que
= k , par
conséquent les vecteurs
et ne sont pas
colinéaires , il en résulte que les points A, B et C définissent
un plan puisqu'ils ne sont pas alignés.
1. b. Il suffit de prouver que ces trois points appartiennent au plan P c'est à dire que leurs coordonnées vérifient l'équation de P.
2xA + y - 2zA + 4 = 6 + 2 - 12 + 4 = 0 donc A
P
2xB + y - 2z + 4 = 2 + 2 - 8 + 4 = 0 donc B
P
2xC + yC - 2z + 4 = 8 - 2 - 10 + 4 = 0 donc C
P
par conséquent le plan défini par les points A, B et C est bien le plan P.
2. a.
( 4 - 3 ; -2 -
2 ; 5 - 6) soit
( 1 ; - 4 ; -1)
.
= -2 
1 + 0
(- 4 ) + ( - 2)
(- 1 ) = -2 + 2 = 0
donc
d'où ABC
rectangle en A.
2. b. L'équation du plan P est 2x + y - 2z + 4 = 0 donc
(
2 ; 1 ; -2) est un vecteur normal du plan P c'est au aussi un vecteur
directeur de tout droite perpendiculaire au plan P.
M( x ; y ; z) appartient à
équivaut à :
Il existe un réel t tel que
= t on a
donc :
qui est une représentation paramétrique de la droite
passant par O
et perpendiculaire au plan P. 2. c. Soit K le projeté orthogonal de O sur P.
K est le point d'intersection de P et de
ses coordonnées (x ; y ; z) vérifient le système
:
On peut utiliser aussi calculer directement la distance d'un point à un plan :
2. d. [OK] représente une hauteur de ce tétraèdre et ABC la surface de base .
Soit V le volume du tétraèdre :
3. On considére dans cette question, le systéme de points pondérés
S = { (O , 3) ; ( A , 1) ; (B , 1) ; ( C , 1 ) }
a. La somme des coefficients des points pondérés est non nulle :
3 + 1 + 1 + 1 = 6
0 donc ce systéme admet un barycentre G
b. I est le centre de gravité du triangle ABC
donc I barycentre du système pondéré {(A ; 1) ; (B; 1) , (C ; 1) }.
Le système de points pondérés S = { (O , 3) ; ( A , 1) ; (B , 1) ; ( C , 1 ) } peut donc être remplacé par S = { (O ; 3) ; ( I ; 3) } , d'où G barycentre du système pondéré { (O;3) ; (I; 3 )}
soit G milieu de [OI] par conséquent G appartient à ( OI ).
c. Déterminons les coordonnées de G :
4.
est la sphère
de centre G et de rayon 5/6 .
2/3 < 5/3 donc d(G ; P) < rayon de la sphère donc
l'ensemble des points communs à P et
est un cercle.
a.
( 1 - 3 ; 2 -
2 ; 4 - 6) soit
( - 2 ; 0 ; -2) ( 4 - 1 ; -2 -
2 ; 5 - 4) soit
( 3 ; - 4 ; 1)Les vecteurs
et
sont colinéaires
si et seulement siil existe un réel k tel que
= k si
et seulement si donc il n'existe pas de réel k tel que
= k , par
conséquent les vecteurs
et ne sont pas
colinéaires , il en résulte que les points A, B et C définissent
un plan puisqu'ils ne sont pas alignés. 1. b. Il suffit de prouver que ces trois points appartiennent au plan P c'est à dire que leurs coordonnées vérifient l'équation de P.
2xA + y - 2zA + 4 = 6 + 2 - 12 + 4 = 0 donc A
P 2xB + y - 2z + 4 = 2 + 2 - 8 + 4 = 0 donc B
P 2xC + yC - 2z + 4 = 8 - 2 - 10 + 4 = 0 donc C
P par conséquent le plan défini par les points A, B et C est bien le plan P.
2. a.
( 4 - 3 ; -2 -
2 ; 5 - 6) soit
( 1 ; - 4 ; -1).
= -2 1 + 0
(- 4 ) + ( - 2)
(- 1 ) = -2 + 2 = 0 donc
d'où ABC
rectangle en A.2. b. L'équation du plan P est 2x + y - 2z + 4 = 0 donc
(
2 ; 1 ; -2) est un vecteur normal du plan P c'est au aussi un vecteur
directeur de tout droite perpendiculaire au plan P. M( x ; y ; z) appartient à
équivaut à : Il existe un réel t tel que
= t on a
donc : qui est une représentation paramétrique de la droite
passant par O et perpendiculaire au plan P. 2. c. Soit K le projeté orthogonal de O sur P.
K est le point d'intersection de P et de
ses coordonnées (x ; y ; z) vérifient le système
: On peut utiliser aussi calculer directement la distance d'un point à un plan :
2. d. [OK] représente une hauteur de ce tétraèdre et ABC la surface de base .
Soit V le volume du tétraèdre :
3. On considére dans cette question, le systéme de points pondérés
S = { (O , 3) ; ( A , 1) ; (B , 1) ; ( C , 1 ) }
a. La somme des coefficients des points pondérés est non nulle :
3 + 1 + 1 + 1 = 6
0 donc ce systéme admet un barycentre G b. I est le centre de gravité du triangle ABC
donc I barycentre du système pondéré {(A ; 1) ; (B; 1) , (C ; 1) }.
Le système de points pondérés S = { (O , 3) ; ( A , 1) ; (B , 1) ; ( C , 1 ) } peut donc être remplacé par S = { (O ; 3) ; ( I ; 3) } , d'où G barycentre du système pondéré { (O;3) ; (I; 3 )}
soit G milieu de [OI] par conséquent G appartient à ( OI ).
c. Déterminons les coordonnées de G :
4.
est la sphère
de centre G et de rayon 5/6 . 2/3 < 5/3 donc d(G ; P) < rayon de la sphère donc
l'ensemble des points communs à P et
est un cercle.
