Exercice 2 : ( 5 points )
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct . on prendra 5 cm pour unité graphique.
Soit f la transformation qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' définie par :

1. Justifier que f est une similitude directe dont on précisera le centre ( d'affixe ) , le rapport k et l'angle .
2. On note A₀ le point O et, pour tout entier naturel n ,on pose A_n+1 = f ( A_n ).
a. Déterminer les affixes des points A₁ ,A₂, et A₃ puis placer les points A₀, A₁ ,A₂, A₃ .
b. Pour tout entier naturel n, on pose u_n = A_n . Justifier que la suite ( u_n ) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n ,

c. A partir de quel rang n₀ tous les points A_n appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?
3. a. Quelle est la nature du triangle A₀A₁ ?
En déduire, pour tout entier naturel n, la nature du triangle A_nA_n+1.
b. Pour tout entier naturel n , on note ln la longueur de la ligne brisée A₀A₁A₂...A_n-1A_n .
On a ainsi : l_n = A₀A₁ + A₁A₂ + ... + A_n-1A_n
Exprimer l_n en fonction de n. Quelle est la limite de la suite ( l_n ) ?
Correction.