Exercice 4 : (7 points )
1.

2.

l'équation différentielle (H) est de la forme z' = az + b
la solution générale de l'équation différentielle est de la forme z(t) = Ce^at - b/a où C est une constante réelle quelconque.


3. Or d'après 1. ( partie A )
y solution de (E) équivaut à z = ln y solution de (H) équivaut à y = e^z.

4.
On a : f(0) = 1 ( en l'an 2000 l'éffectif initial est de 1000 )
donc

La condition initiale conduit donc à considérer la fonction f définie par :


a.

b.

On en déduit que f est strictement décroissante sur [0 ; + [
c.

Au bout de combien d'années, selon ce modèle, la taille de l'échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus , c'est à dire encore 0,02 milliers d'individu :
il suffit pour répondre à cette question de résoudre l'inéquation f(t) < 0,02 d'après ce qui précéde il faudra 17 année pour que f(t) < 0,02.
En 2017 la taille de l'échantillon sera inférieure à 20 individus.
Partie B
Un arbre pondéré permet de résumer l'énoncé :

1. P(M) = 0,5 ( 50 % des animaux testé sont malades )
P_M(T) = 0,99 ( 99 % des animaux qui sont malades sont testé positif )
P(T) = 0,001 ( 0,1 % des animaux qui ne sont pas malades sont testé positif )
2.
P(M T) = P_M(T) P(M) = 0,99 0,5 = 0,495
P( T) = P(T) P() = 0,001 0,5 = 0,0005
P(T) = P(M T) + P( T) = 0,4955
3.
P_T(M) = P(M T) /P(T) = 0,495/0,4955 0,99899 < 0,999
donc le test n'est pas fiable.